第5章代数结构精讲.ppt

g: R? R g(x)=?x ? 求不小于x的最小整数 ?2?=2 ,?2.3?=3 ?-2?=-2, ?-2.3?=-2 则g为R上的一元运算 证：〈G, * 〉是群，　当│G│=1，G={e},e为幺元，无零元 当│G│≠1时，假设有零元θ∈G, x ∈G, x *θ=θ* x =θ≠e, θ无逆元,矛盾 (2) 群满足消去律。即 a,b,c ∈G,若 a*b=a*c,则 b=c 或若 b*a=c*a, 则 b=c ∴H, *是〈G,*的子群。 x0,y0 ∈G. H 关与x0,y0的左陪集:x0,y0H={ x0+x, y0+y∣y=2x｝＝ {x,y∣y-y0=2 x-x0} 几何意义：过x0,y0与y=2x的平行直线 （两代数系统之间的关系） 代数系统{0,1},\/ {a,b},* a---0,b---1,他们是同构的，本质上是一样的。 \/ 0 1 * 　a b 0 0 1 a a b 1 1 1 b b b 1. 同构 A,¤和B,*是两个代数系统，¤,*分别是A,B上二元运算。 若　双射f:A?B 使得a,b ∈A f(a¤b)=f(a) * f(b)则称f是从A, ¤到B,*的一个同构映射。 A, ¤和B,*是同构的，记作A, ¤≌B,*. 上例中：{a,b} ? {0,1} f(a)=0 , f(b)=1. 2)定理：ker(f)是A,*的子群。 证：k A ,k ≠ , a,b ∈k,只要证a*b-1 ∈k即可。 1)e ∈A,f(e)是B中幺元f(e)=e’,所以e∈k. 2)f(a*b-1)=f(a)*f(b-1)=e,*f(b)-1=e,*e,-1=e, 2.同余关系 （比等价关系强）讨论一种与同态有关的非常重要的关系。 1）定义：代数系统A,* R是A上的等价关系 若 a1,b1 ∈R,a2,b2 ∈R 　　有a1*a2,b1*b2 ∈R,则称R是关于运算*的同余关系。 所以同余关系是一种特殊的等价关系，它与代数系统的运算有关。 例：I,+ ,R={x,y|x y(mod3)y,R是同余关系。 因为x１,y１ ∈R,x２,y２ ∈R，则x１ y１(mod3),x２ y２(mod3) 所以x１+x２ y１+y２(mod3)x１+x２,y１+y２ ∈R R是同余关系。 ２）B A/R={[x1]R,[x2]R,…,[xr]R}={A1,A2,…,AR} (R是等价关系） B中定义的运算＊ x i∈[xi]R,xj ∈[xj]R,若xi*xj ∈[xk]R. 则[xi]R*［xj]R ∈[xk]R　　即Ai*Aj=Ak. 称B={A１,A２,…,Ar}为A关于R的同余类 , B,*=A/R,*为A, * 的商代数。 定理：A, *的商代数是A, *的同态象。 证：f:A?A/R. ai所在的分块 当ai∈Ai f(ai)=Ai f是A?A/R的满射. 注意：要证明B,**是否确实是B上的一个运算与代表元选取无关，即ai∈[ai]R,　ai,∈[ai]R,aj∈[aj]R, aj,∈[aj]R, ai * aj∈Ak.f(ai * aj)=Ak. ai, * aj,∈Ak? 即要证ai * aj与ai, * aj’在同一分块中 这是因为R是同余关系 ai,ai, ∈R aj,aj, ∈R在同一分块中。 所以ai * aj,ai, * aj, ∈R 即ai * aj与ai, * aj,在同一分块中 ∈Ak... 3)传递性a,b∈R,b,c∈R ? f(a)=f(b),f(b)=f(c) 所以f(a) = f(c) ? a,c∈R 设a1,b1∈R,a2,b2∈R则f(a1)=f(b1) f(a2)=f(b2) f(a1☆a2)=f(a1)*f(a2)=f(b1)*f(b2)=f(b1☆b2) 所以a1☆a2 , b1☆b2∈R 2）定义:f是A,*到Ｂ,　 的同态映