二次函数典型题解题技巧讲义.doc

二次函数典型题解题技巧 （一）有关角 1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点. 求此抛物线的解析式； （2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由. 思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD和x轴平行（过点作轴的平行线与抛物线交于点） 对于第（2）问，比较角的大小 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M、C、A、B这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d这一条 解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3）， ∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴设抛物线的解析式为． ∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1． 即抛物线的解析式为．…………3分 （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线可得 点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB=． ∴PC=AC－PA=． 在Rt△BPC中，tan∠BCP==2． 在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM==2． ∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB． 后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路 2、如图，抛物线，与轴交于点，且． （I）求抛物线的解析式； （II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若， 的值． 解：（I），且．． 代入，得 （II）①当可证∽ ． ②同理: 如图当 ③当 综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，． （III）．． ∴． ． ． 又．． ． 3、抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x = -1，B(1,0)，C(0,-3). ⑴ 求二次函数的解析式； ⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 4、研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等.我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. （1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点， 求等边三角形的边长； （3）M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3） 为定点，求MP+MF的最小值. 解：（1）焦点坐标为（0，1）， 准线方程是； （2）设等边ΔOAB的边长为x，则AD=，OD=. 故A点的坐标为（，）. 把A点坐标代入函数，得 ， 解得（舍去），或. ∴ 等边三角形的边长为. （3）如图，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN=MF.过P作准线的垂线PQ，垂足为Q，当M运动到PQ与抛物线交点位置时，MP+MF最小，最小值为PQ=4. 思路点拨：（2）要求AE和AM的长，对于求线段的长度我们学过的是勾股定理，相似三角形和简单三角函数，从题目