3-3高阶导数教学课程.ppt

导数与微分 ※三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? (differentiation of functions represented parametrically) t t ψ ) ( ) ( j ￠ ￠ = t t ψ ) ( ) ( j ￠ ￠ = ※参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; t t ψ ) ( ) ( j ￠ ￠ = x y d d 再用商的求导法则求二阶导数 dx 1 ) d d ( d d x y t = dt dx ) d d ( d d x y t = dt dx 1 ) d d ( d d x y t = dt */36 微积分三③ -2 1、 2、设 f (x)= ex, x0, ax+b, x?0, 在x=0 点可导，求 a, b 之值. a =1 b =1 如果改为可导，直接用求导的四则运算法即可 注意：g(x)是否可导是未知的. 1、 用定义求导的三种情况： 1、分段函数在分段点处的导数； 2、函数在某一点是否可导未知； 3、用公式求导太繁。 解：由 f (x) 在 x=0 点可导，则一定在 x=0 点连续，因此有 即 b =1 从而 f (x)= ex, x0， ax+1, x?0， f (0) =1. = 2、设 f (x)= ex, x0, ax+b, x?0, 在x=0 点可导，求 a, b 之值. 由 f (x) 在 x=0 点可导，有 f +(0)=f ?(0)=f (0), 故 a=1 所求函数为 f (x)= ex, x0， x+1, x?0. 又 f (x)= ex, x0， ax+1, x?0， a =1 b =1 f (x)= ex, x0， x+1, x?0. f (x)= ex, x0， x+1, x0. 2, x=0. f ’ (x)= ex f ’ (x)= 1 但是f (x)=在x=0处不连续，所以不可导！ 求 f ’ (x) 一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法举例 物理问题：变速直线运动的加速度。 1.1、实例 已知一物体作变速直线运动的速度为 求 t 时刻的加速度 平均加速度 物理问题：变速直线运动的加速度。 1.1、实例 t 时刻的瞬时加速度 ----路程s(t)的导数的导数 那么一个函数的导数的导数与原来这个函数的关系是什么？ 1.2、二阶导数定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数,记为 二阶导数的导数称为三阶导数,记为 1.3、三、四阶导数定义 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 1.4、 n 阶导数定义 例如 例1 解 1.直接法 －－(1)由高阶导数的定义逐阶求高阶导数. 求高阶导数的类型: 1.求具体阶导数 2.求n阶导数 一般函数高阶导 隐函数高阶导 抽象函数高阶导 ★ ★ 解 例2.求下列函数的二阶导数 1）题若改为证明: 例3. 计算下列函数的高阶导数 解：1）方程两边对 x 求导 上式两边对 x 求导，得 2）方程两边对 x 求导 于是 隐函数求高阶导数，应用隐函数求导法，若计算某一点处的导数，则有两种方法，见 （1）与 （2） 上式两边再对 x 求导，得 ★例4 解 例5 解 求n阶导数时,先求出1-3或4阶导数,将它们当作数列的前若干项，分析结果的规律性,写出通项公式即为n阶导数公式. －－（2）推导法（n 阶导数的计算） 直接法 例6 解 同理可得 看出结论了吗? 例7 解 如： y = ex 的任何阶导数仍为ex本身. 特别: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n 阶导数. 例8 解 注意: 2.间接法: 常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. ， 例9 解 解 例10 ( n=1,2,…) 利用立方和公式 作业: 练习3-3 第92页 3(1,2),5(1),8,9(3),10 思考题: 习题3-3 第105页 1(2,4),2(1),4(2,3),6,7(1) 吴传生教材 1.导数的四则运算法则 u ,v 都可导, 方可用法则 ！！ 熟记积商法则，莫与极限混淆 2.基本初等函数的导数公式 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 公