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《 高 等 数 学 》 二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1. 设 若 存在, 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 类似地, 若 则定义 特指反常积分的值 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在, 就称 发散. 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非未定式, 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散. 引入记号 则有类似“牛 – 莱”公式的计算表达式: 例1. 计算反常积分 解: 思考: 分析: 原积分发散! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误. 例2. 证明 p 积分 证: 当 p =1 时, 有 当 p ≠ 1 时, 有 当 p 1 时收敛; 当 p≤1时发散. 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛, 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散. 例3. 计算反常积分 解: 思考: 下列反常积分是否收敛? 二、无界函数的反常积分 引例. 曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 若 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界, 则点 a 称为 f ( x ) 的瑕点(或无界间断点). 定义2. 设 点 a 为 f ( x ) 的瑕点, 存在, 这时称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 类似地, 若 若极限 (a , b] 上的反常积分(的值), 则定义 则称此极限为函数 f (x) 在 记作 点 b 为 f ( x ) 的瑕点, 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 点 c 为 f ( x ) 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 或瑕积分. 的瑕点, 例如, 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 注意: 若瑕点 的计算表达式: 则也有类似“牛 – 莱”公式 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 例5. 讨论反常积分 的收敛性. 解: 所以反常积分 发散. 例6. 证明反常积分 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛; q≥1 时发散. 当 q≠1 时, 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛, 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散. 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 说明: (1) 有时通过换元, 反常积分和常义积分可以互 相转化. 例如, (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 作业 P260 1 (4), (5), (6), (9), (10); *2 提示: P260 题2 求其最大值. 备用题 试证 并求其值. 解: 令 定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在, 这时称反常积分 收敛; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 类似地, 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 (a , b] 上的反常积分, 则定义 则称此极限为函 记作 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界, 为瑕点(奇点) . 例如, 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 *(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. P260 题 1 (1) , (2) , (7) , (8) 常积分收敛. 注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 思考与练习 其定义为 例7. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. 《 高 等 数 学 》