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《 高 等 数 学 》 二、无界函数反常积分的审敛法 *第五节 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 反常积分的审敛法 ?函数 第五章 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1. 若函数 证: 根据极限收敛准则知 存在, 定理2 . (比较审敛原理) 且对充 , 则 证: 不失一般性, 因此 单调递增有上界函数, 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在, 定理3. (比较审敛法 1) 例1. 判别反常积分 解: 的收敛性. 由比较审敛法 1 可知原积分收敛. 思考题: 讨论反常积分 的收敛性. 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散. 定理4. (极限审敛法1) 则有: 1) 当 2) 当 证: 1) 根据极限定义, 对取定的 当 x 充分大时, 必有 , 即 满足 2) 当 可取 必有 即 注意: 此极限的大小刻画了 例2. 判别反常积分 的收敛性. 解: 根据极限审敛法1, 该积分收敛. 例3. 判别反常积分 的收敛性. 解: 根据极限审敛法1, 该积分发散. 定理5. 证： 则 而 定义. 设反常积分 则称 绝对收敛; 则称 条件收敛. 例4. 判断反常积分 的收敛性. 解: 根据比 较审敛原理知 故由定理5知所 给积分收敛 (绝对收敛). 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 二、无界函数反常积分的审敛法 由定义 例如 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来. 定理6. (比较审敛法 2) 瑕点, 有 有 利用 有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . 定理7. (极限审敛法2) 则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 解: 利用洛必达法则得 根据极限审敛法2, 所给积分发散. 例6. 判定椭圆积分 散性. 解: 由于 的敛 根据极限审敛法2, 椭圆积分收敛. 类似定理5, 有下列结论: 例7. 判别反常积分 的收敛性. 解: 称为绝对收敛. 故对充分小 从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛. 则反常积分 三、? 函数 1. 定义 下面证明这个特殊函数在 内收敛. 令 综上所述 , 2. 性质 (1) 递推公式 证: (分部积分) 注意到: (2) 证: (3) 余元公式 (证明略) (4) 得应用中常见的积分 这表明左端的积分可用 ? 函数来计算. 例如, 内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法. 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛. 3. ? 函数的定义及性质. 思考与练习 P268 1 (1), (2), (6), (7) ; 5 (1), (2) 作业 P268 1 (3), (4), (5), (8); 2; 3 《 高 等 数 学 》