6.5反常积分课程.ppt

* 《一 元 函 数 积 分 学》 --理论与实际应用的桥梁 知识回顾 “智慧比红宝石更美,一切可喜爱的,都不足与比较. 知识是智慧之源,拒绝知识就等于拒绝智慧.” 一元函数积分学知识总结 定积分的概念 不定积分概念 牛顿-莱布尼兹公式 计算定积分 定积分的应用 积分中值定理 定积分的性质 原函数 变上限函数 求不定积分 不定积分基本公式 三角代换 倒代换 根式代换 凑微分法 第二换元法 分部积分法 有理函数化为四种最简分式 万能代换 换元法 分部积分法 反常积分 求平面图形面积 求旋转体体积等 几何应用 求 质 量 求力作功 物理应用 求 引 力 求水压力 微积分基本定理 微元法： 二、无界函数的反常积分 第五节 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 A y = e-x y x b O (0,1) 一、无穷限的广义积分 例 1　求由曲线 y = e-x， y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积. 解　这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取 b ?[0, + ?)， 在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为 b y = e-x y x O (0,1) y = e-x y x b O (0,1) 即 当 b ? + ? 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积， 定义 1　设函数 f (x) 在 [a, + ?)上连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 取实数 b a， 如果极限 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ?) 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 存在， 否则称广义积分发散. 定义 2　设函数 f (x) 在 (- ?, b] 上连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　取实数 a b， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- ?, b] 上的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 存在， 否则称广义积分发散. 定义 3　设函数 f (x) 在 (- ?, + ?) 内连续， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　且对任意实数 c， 如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- ?, + ?) 内的广义积分， 这时也称广义积分收敛， 记作 即 都收敛， 否则称广义积分发散. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为 例 2　求 解 例 3　判断 解 由于当 x ? + ? 时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 . 例4. 计算反常积分 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例 5　证明反常积分 当 p 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证　 p = 1 时，则 所以该反常积分发散. 当 p 1 时， 综合上述， 该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时， 该反常积分发散. p ? 1 时，则 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 如果函数f (x)在点a的任一邻域内都无界,那么 点a称为函数f(x)的瑕点(也称无界间断点).无界函数的 反常积分又称为瑕积分. 定义4. 若函数f (x)在(a,b]上连续,a是f (x)的瑕点，则 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 定义5.若函数f (x)在[a,b)上连续,b是f (x)的瑕点，则 c 是f(x)的 瑕点 , 则定义 定义6. 如果这两个反常积分都收敛，则 反常积分 收敛 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为 例6. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 1 , 所以 原式 例7 判断 解 故积分收敛. - 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例8.