ch5大数定律与中心极限定理(课件)课程.ppt

* CH5 大数定律与中心极限定理 5.1.1 依概率收敛的定义 § 5.1 大数定律 定义5.1.1(依概率收敛) 是一随机变量序列, 设 恒有 使得对任何 若存在随机 变量 则称随机变量序列 依概率收敛到X， 记作 恒有 对任何 对任何 只要当n充分大时， 发生的概率无限的接近1， 发生的可能性越来越大。 就有事件 即事件 5.1.2 大数定律 频率的稳定性: 在一次试验中, 但若进行大量的重复试验, 事件 可能发生 也可能不发生, 则事件A发生的频率: 次试验中, 发生的次数 试验的总次数n 就与一常数 靠近, 且随着试验次数 的增大, 频率 逐渐地稳定在常数 附近. 大数定律 对频率的稳定性 给出了严格的数学表述 和论证. 定义5.1.2(服从大数定律) 是一随机变量序列, 设 若 且数学期望 则称随机变量序列 记 存在， 服从大数定律 称 为随机变量序列 的算术 平均值。 定理5.1.1 设随机变量序列 （切比雪夫大数定律） 是相互独立的 均存在， 且存在与 i 无关的常数C, 使得 有 则对任何 它们的数学期望 与方差 随机变量序列， 即随机变量序列 服从大数定律 证明:利用切比雪夫不等式，再结合夹逼准则即可证明。 说明: 该定理表明： 对任何 ， 随机变量序列 的算术平均值 对任何 服从大数定律 随机变量序列 依概率收敛其数学 期望 即只要n充分大, 尽管n个随机变量各有 但其算术平均的取值 较密集地集中在 其数学期望附近. 各的分布, 设在n重贝努利试验中， 事件A发生的次数为 则事件A在n次试验中 发生的频率为 与 都是随机变量. 随着试验次数的增加， 事件A发生的频率 逐渐稳定在 即 即 定理5.1.2 （伯努利大数定律） 常数 附近. 其中 为事件A在每次试验中发生的概率。 随机变量序列, 说明: 在概率意义下, 它们的期望 定理5.1.3 (辛钦大数定律) 设 为相互独立且同分布的 存在且相同， 有 则对任何 当n充分大时, 则其算术平均值 的随机变量序列， 其数学期望. 独立、 会充分“接近” 同分布 即 只要其数学期望存在， 即 例1 P134 作业：P134-135 2，4 5.2.1 中心极限定理 § 5.2 中心极限定理 定义5.2.1(服从中心极限定理) 是相互独立的随机变量序列, 设 都存在， 的数学期望 它们 若对 与方差 有 则称随机变量序列 服从中心极限定理 记 定理5.2.1 此定理称为独立同分布的中心极限 定理， “莱维－林德伯格定理.” 为相互独立且同分布 且 则对 有 亦称 的随机变量序列， 设 注： 服从中心极限定理 此时随机变量序列 简称L-L定理 从而　　 即 从而　　 该定理表明， 就近似服从标准正态分布， 随机变量 只要n充分大， 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础。　　 只要n充分大， 相互独立 只要n充分大， 定理5.2.2 (棣莫弗-拉普拉斯定理) 令　 设随机变量 则对于任何实数 有 证　 则　 从而由L-L定理　 二项分布以正态分布为极限. 当n充分大时， 它表明，当 正态分布 的分布函数近似， 二项分布的分布函数F(x)就可以用 可以用正态分布近似。 即二项分布 即 推论5.2.1 设随机变量 则当n充分大时有 解