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补高等数学： 矢量（向量）代数（同济大学《高等数学》第五版 第7章第一、二节） 一、矢量（向量）的概念及其表示 1.标量与矢量（向量） 代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、 功、势能…… ） 既有大小又有方向（力、速度、加速度、 力矩、动量…… ） 标量 算术量（质量、时间间隔、动能……） 矢量： 2.矢量的表示 （1）图示：有（方）向线段： 长度是矢量的大小 箭头方向是矢量的方向 （3）矢量的平行：a // b（箭头指向可相同或相反） A B （1） （3） （4）矢量的相等： ——大小、方向（含指向）都相同 所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。 （2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或 （5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反） （4） （5） 3.矢量的模： 4.单位矢量： ，仅用来表示方向。 所以： 注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的 单位矢量分别为 5.矢量的坐标分解式（分量式） 矢径（向径：从原点出发的矢量） 一般地： 其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而 注意：分量是代数量（可正可负）！ 恒为正 所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示. 则称分矢量（分向量） 由 若P点（或矢径 ）在YOZ平面上，则 x=0； 若P点（或矢径 ）在ZOX平面上，则 y=0； 若P点（或矢径 ）在XOY平面上，则 z=0。 若P点（或矢径 ）在 x 轴上，则 y=z=0； 若P点（或矢径 ）在 y 轴上，则 x=z=0； 若P点（或矢径 ）在 z 轴上，则 x=y=0。 若P点为原点，则x=y=z=0 或 P（x，y，z）可知： 6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向 大小：矢径的大小： 一般地： 方向：方向角?、?、?或方向余弦： 7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量 注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。 二、矢量的加减法 1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3） 2.矢量相加的三角形法则（见图7-2） 3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5） 5.矢量的减法 因为： 由矢量相加的三角形法则可得： 即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。 4.矢量的加法所满足的运算规律 （1）交换律： （2）结合律： 6.矢量加减的坐标表示式 三、矢量与数量的乘法 1.定义： 模（大小）： 方向 当λ 0时（可视为 ） 方向与 相同 当λ 0时（可视为 ） 方向与 相反 2. 满足的运算规律 （1）与另一个数量相乘的结合律： 3.矢量与数量相乘的坐标表示式 （2）分配律： 四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘） 1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功： 一般地： θ 2.两个推论： （1） （2）若两非零矢量 ，则 反之，若 ，则必有 注意；“点”不能掉！ 3.标量积满足的运算规律 （1）交换律： （2）分配律： （3）满足一定条件下的结合律（略） 4.标量积的坐标（分量）表示式 一般地： 大小： 方向：垂直于 所决定的平面， 指向按 的顺序，用右 （手）螺旋法则确定。 五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘） 1.定义：如力矩：大小： 力矩是矢量，方向沿转轴， 指向按 的顺序，用 右（手）螺旋法则确定。 注意；“×”不能掉！ 抽象出矢量积： 大小： 方向见上 d ? 2.两个推论： （1） （2）若两个非零矢量 ，则： 反之，若 ，则必有： 3.满足或不满足的运算规律 （1）不满足交换律，而是： （2）满足分配律： （3）满足如下的结合律： 4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法 或 5.矢量积（大小）的几何意义 以 为邻边的平行四边形的面积。 作业： ﹡阅读《高等数学》P289—307 ﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照） 复习：标量积和矢量积 标量积满足交换律： 大小：