第2章矢量基础课程.ppt

柱坐标系中： 球坐标系中： 正交曲线坐标系中： 直角坐标系中： 常用坐标系中，散度的计算公式 六、矢量场的旋度 1. 环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。 可见：环量的大小与环面的方向有关。 2. 旋度: 定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。 表达式： 旋度计算： 以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为： 场矢量： 其中： 为x 方向的环量密度。 旋度可用符号表示： 其中： 可得： 同理： 所以： 旋度公式： 为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式: 类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式： 对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。 3. 斯托克斯定理： 物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。 七、重要的场论公式 1. 两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 在广义正交曲线坐标系中： 2. 拉普拉斯算子 在直角坐标系中： 3. 常用的矢量恒等式 弹性波动力学 第二部分 矢量分析 第2部分 矢量分析 一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 六、矢量场的旋度 五、矢量场的散度 七、重要的场论公式 一、矢量和标量的定义 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 矢量表示为： 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 、速度 、电场 等 如：温度 T、长度 L 等 例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？ 图示法： 力的图示法： 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： b.满足结合律： 三个方向的单位矢量用 表示。 根据矢量加法运算： 所以： 在直角坐标系下的矢量表示: 其中： 矢量： ?模的计算： ?单位矢量： ?方向角与方向余弦： 在直角坐标系中三个矢量加法运算： 2.减法：换成加法运算 逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 方向不变，大小为|k|倍 方向相反，大小为|k|倍 （2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： ?两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。 在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 有两矢量点积： 结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论1：满足交换律 推论2：满足分配律 推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 推论1：不服从交换律： 推论2：服从分配律： 推论3：不服从结合律： 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 b.矢量积（叉积）： 含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。 在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： 两矢量的叉积又可表示为： x y z o （3）三重积： 三个矢量相乘有以下几种形式： 矢量，标量与矢量相乘。 标量，标量三重积。 矢量，矢量三重积。 a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 定义： 含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。 注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。 在直角坐标系中： b.矢量三重积： 例2： 求： 中的标量 a、b、c。 解： 则： 设 例3： 已知 求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。 解：已知 所得矢量垂直于 、 所在平面。 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ， 求：通过A点和B点的直线方程。 例4： 其中：k 为任意实数。 x y z C A B 解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则 三、矢量微分元：线元、面元、体元 例： 其中： 和 称为微分元