信息论-基础知识与应用第九章详解.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 名词解释 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的码字 n k 。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示 C Cn－1,Cn－1,…,C1,C0 所以码字又称为码矢。 n,k 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R k /n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一个重要参数。 * 1 一致校验方程 编码就是给已知信息码组按预定规则添加校验码元，以构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r r n－k 个校验码元，使每个校验元是其中某些信息元的模2和。 举例：k 3, r 4，构成 7,3 线性分组码。设码字为 C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0 C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为校验元，每个码元取“0”或“1” 校验元可按下面方程组计算 一致校验方程和一致校验矩阵 * 一致校验方程：确定信息元得到校验元规则的一组方程称为校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致校验方程。 由于一致校验方程是线性的，即校验元和新信源之间是线性运算关系，所以由线性校验方程所确定的分组码是线性分组码。 * 2 举例 信息码组 101 ，即C6 1, C5 0, C4 1 代入 9.18 得： C3 0, C2 0, C1 1, C0 1 由信息码组 101 编出的码字为 1010011 。其它7个码字如表9.1。 * 3 一致校验矩阵 为了运算方便，将校验方程写成矩阵形式，得 可写成 H? CT 0T或 C? HT 0 CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。 * 系数矩阵 H 的后四列组成一个 4×4 阶单位子阵， 用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示 * 推广到一般情况：对 n,k 线性分组码，每个 码字中的 r r n－k 个校验元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定 * 令上式的系数矩阵为 H，码字行阵列为 C * 4 一致校验矩阵特性 对H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，于是得到下面矩阵，行变换所得方程组与原方程组同解。 校验矩阵H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的校验矩阵H。 H 阵的每一行都代表一个校验方程，它表示与该行中“1”相对应的码元的模2和为0。 * H 的标准形式还说明了相应的校验元是由哪些 信息元决定的。例如 7,3 码的H 阵的第一行为 1011000 ，说明此码的第一个校验元等于第一个和第三个信息元的模2和，依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个校验方程，也表示由H 所确定的码字有 r 个校验元。 为了得到确定的码，r 个校验方程（或H 阵的r 行）必须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就能方便地确定H 阵本身的秩。 * 线性分组码的生成矩阵 在由 n,k 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中， 一定存在 k 个线性独立的码字：g1,g2,…, gk,。码 CI 中其它任何码字C都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即 * G中每一行 gi gi1,gi2,…, gin 都是一个码字； 对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得 n,k 线性码对应的码字。 生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 n,k 线性码，称矩阵 G 为 n,k 线性码的生成矩阵。 n,k 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的线性组合，所以它的 2k 个码字构成了由 G 的行组成的 n 维空间的一个 k 维子空间 Vk。 * 线性系统分组码 通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵 的标准形式 * 线性系统分组码：用标准生成矩阵 Gk×n 编成的码字，前面 k 位为信息数字，后面 r n－k 位为校验字，这种信息数字在前校验数字在后的线性分组码称为线性系统分组码。 当生成矩阵 G 确定之后， n,k 线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。 * 举例 7,4 线性码的生成矩阵为 * 生成矩阵与一致校验矩阵的关系 由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每行都满足Hr×nCTn×1 0Tr×1，则有 Hr×nGTn×k 0Tr×k 或 Gk×nHTn×r 0k×r 线性系统码的校验矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。