代数学的新生详解.ppt

第八章 代数学的新生;序言; 这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景。 ;3、18世纪末数学悲观内部遗留的问题;第一节 代数方程的可解性与群的发现; 接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。; 挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛一个牧师家庭，1829年4月6日卒于弗鲁兰。13岁入奥斯陆一所教会学校学习，年轻的数学教师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。少年时，阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。1821年在一些教授资助下，入奥斯陆大学。在学校里，他几乎全是自学，同时花大量时间作研究。 1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者，他的论文以法文写成，也送给了高斯，可是在外国数学家中没有任何反响。1825年，他去拍林，结识了克雷尔，并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。; 第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的文章，其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿贝尔到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，不幸未得到重视，他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位，没有成功。 1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威，靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。; 1828年，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年4月6日，不到27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年他和雅可比共同获得法国科学院大奖。 阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，他还研究了更广的一类代数方程，后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数，得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。;　 阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的积分（现称阿尔贝积分），其中R(x,y)是x 和y 的有理函数，且存在二元多项式 f ，使 f ( x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理，现称阿贝尔定理，它断言:若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来，其中g只依赖于f，就是f的亏格。 阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路，并深刻地影响着其他数学分支。埃尔米特曾说：阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年。;2、伽罗瓦;伽罗瓦的思想是将一个n次方程 ;第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换 ; 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在叫方程的“基本域”，并记为 F=Q（ a1，a2 ，… ，an），Q为有理数域，a1,a2 ,…,an 是方程的系数，但伽罗瓦没有用“域”这个名称。 伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群，这些置换保持方程的根以 F 的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。 ;设方程 ，其中 p、 q 是独立的，令F 是 p ，q;容易看出这些根的系数在F中的下列两个关系成立： x1 + x2 = 0， x3 + x4 = 0 ， 可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换 ;都能使上述两个关系在 F 中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方程在域F中的群，即伽罗瓦群。 需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可解存在着本质联系，