第七.八章粒子的经典与量子分布.ppt

 3、粒子的经典与量子分布§3.1玻耳兹曼分布§3.2热力学公式§3.3玻色分布和费米分布§3.4经典公式§3.5理想气体的热力学函数§3.6Maxwell速度分布律§3.7玻色子统计和费米统计§3.8热力学量的统计表达式重点：掌握经典Boltzmann分布，费米狄拉克分布，玻色子－爱因斯坦分布。主要内容：由等几率原理从系统微观状态出发给出粒子的最可几分布，以及相应的热力学公式。3.粒子的经典与量子分布上节求出了与一个分布相对应的系统的微观状态数。根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可能的微现状态出现的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的几率将最大，称为最可几分布，是实际上最可能发生的分布。本节导出在定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布。先证明一个近似等式：§3-1玻耳兹曼分布其中m是远大于1的整数。证明：上式右方等于如图中一系列矩形面积之和，各矩形的宽为1，高分别为：当m远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以其中m是远大于1的整数。1、斯特令公式求条件极值的方法2、玻耳兹曼分布利用拉格朗日未定乘子法求玻尔兹曼系统在宏观条件限定下的最概然分布，即玻尔兹曼分布取对数，得的变化，将有为使有极大分布为了求得使为极大的分布，令有的变化。但不完全是独立的，它们必须满足条件：用拉格朗日(Lagrange)未定乘子和乘这两个式子并从中减去，得：根据拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以得：此为定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布宏观条件可改写为这就证明了玻耳兹曼分布是使为极大的分布。第二，玻耳兹曼分布是出现几率最大的分布。从原则上说，除了玻尔兹曼分布外，满足宏观条件的其它所有分布都有可能实现。但是可以证明，这些分布与作为最概然分布的玻尔兹曼分布比较几近为零。因此可以认为，在平衡态，粒子实质上处在玻尔兹曼分布。几点说明：例：代表最可几分布对应的微观态数。代表与最可几分布有些微偏离分布的微观态数。设仅偏离十万分之一，越大，则这说明最可几分布的微观状态数非常接近于全部可能的微观状态数。根据等概率原理，处在平衡态下的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率相同。如果忽略其他分布而认为在平衡态下粒子实质上处于最可几分布，由其所引起的误差应当可以忽略。越小。第三，未定乘子α和β由宏观条件确定:后面会证明，未定乘子α与化学势有关，等于-µ/(kT)；而β则与温度有关，等于1/(kT)。第四、式事实上，如果系统是多组元的，则根据系统总的微观状态数等于各组元的微观状态数之乘积，可以将上述理论推广到多组元情形。的推导中假定系统是单元系。第五在玻耳兹曼分布下，当粒子的能级非常密集，粒子能量可以看作是准连续变量时，可用半经典近似，即，用广义坐标和广义动量来描述粒子的运动状态，而每一个可能状态对应于相空间中大小为hr的一个体积元。则玻耳兹曼分布的经典表示为：是玻耳兹曼分布的量子形式。即最概然分布下，坐标和动量在μ空间范围内的粒子数。§3-2热力学公式1、配分函数Z定义函数Z：在系统的N个粒子中，处在能级上的粒子出现的概率为Z如何获得？（能级和简并度）1.量子力学理论计算2.分析有关实验数据（如光谱数据）当各取得足够小时引入Zl后玻耳兹满曼分布可改写为：配分函数的经典表述2、内能内能是系统中粒子无规运动的总能量。是内能的统计表式。3、广义力Y无穷小过程：Y为外参量y相应的广义力粒子的能级是外参量的函数。外参量y的改变，外界施于因此外界对系统的广义作用力Y为：是广义作用力的统计表式。一个重要特例是物态方程在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统所作的功是：将内能求全微分，可得第一项：能级的改变引起的内能的变化,代表在准静态过程中外界对系统所作的功。第二项：粒子分布发生改变引起的内能变化,代表在准静态过程中系统从外界吸收的热量（=粒子在各能级重新分布所增加的内能）。热量是在热现象中所特有的宏观量，是没有相对应的微观量的。4、内能讨论（功和热量的微观解释）5、玻耳兹曼常数k用乘上式，得：配分函数Z是，y的函数，的全微分为：因此得也是的积分因子都是的积分因子，我们可以令理想气体由于上面的讨论是普遍的，适用于任何物质系统，所以常数k是一个普适常数，称为玻尔兹曼常数6、热力学函数的表达式1）熵的表达式注意：统计物理的一个基本观点是宏观量是相应微观量的统计平均值。但是,并非所有的宏观量都有相应的微观量，例如宏观量温度和熵就不存在相应的微观量。对于这种情况，我们只能通过和热力学理论相比较的方法得到这些宏观量的统计表达式。熵函数的统计意义以及熵增加原理和能斯特定理的统计解释。由熵函数的统计表式：取对数而由玻耳兹曼分布公式：可得：所以S可以表为：玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义，系统在某个宏观状态的熵等