第七章 最优控制.ppt

现代控制理论 第七章 最 优 控 制 7.1 最优控制问题 7.2 求解最优控制的变分方法 7.3 最大值原理 7.4 动态规划 7.5 线性二次型性能指标的最优控制 7.6 快速控制系统 的任意性 最优控制 最优轨线方程 最优性能指标 例7.5.3 ， 性能指标 最优控制 ， ， 最优控制 极限解 7.4.2 离散系统动态规划 阶离散系统 性能指标 求决策向量 使 有最小值（或最大值），其终点可自由， 也可固定或受约束。 引进记号 应用最优性原理 可建立如下递推公式 贝尔曼动态规划方程 例7.4.2 设一阶离散系统，状态方程和初始条件为 性能指标 求使 有最小值的最优决策序列和最优轨线序列 指标可写为 代入 上一级 代入状态方程 最优决策序列 最优轨线 7.4.3 连续系统的动态规划 性能指标 目标集 引进记号 根据最优性原理及 由泰勒公式，得 由中值定理，得 连续型动态规划方程 实际上它不是一个偏微分方程，而是一个函数方程和偏微分方程的混合方程 满足连续型动态规划方程，有 设 边界条件 动态规划 动态规划方程是最优控制函数满足的充分条件；解一个偏微分方程；可直接得出综合函数 ；动态规划要求 有连续偏导数 最大值原理 最大值原理是最优控制函数满足的必要条件；解一个常微分方程组；最大值原理则只求得 。 例7.4.3 一阶系统 ， 性能指标 动态规划方程 右端对u求导数，令其导数为零，则得 7.4.4 动态规划与最大值原理的关系 　　变分法、最大值原理和动态规划都是研究最优控制问题的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一个问题，应该得到相同的结论。因此三者应该存在着内在联系。变分法和最大值原理之间的关系前面已说明，下面将分析动态规划和最大值原理的关系。可以证明，在一定条件下，从动态规划方程能求最大值原理的方程。 动态规划方程 令 哈米顿函数 最大值原理的必要条件 用最大值原理求最优控制，求出的最优控制 通常是时间的函数，这样的控制为开环控制 当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。 在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程 上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。 求解这样的问题一般来说是很困难的。 。 但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。 7.5.1 问题提法 动态方程 指标泛函 使 求 有最小值 此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题 通常称 为综合控制函数 指标泛函的物理意义 积分项，被积函数由两项组成，都是二次型。 第一项　过程　在控制过程中，实际上是要求每个分量越小越好，但每一个分量不一定同等重要，所以用加权来调整，当权为零时，对该项无要求。 第二项　控制能力　能量消耗最小。对每个分量要求不一样，因而进行加权。要求正定，一方面对每个分量都应有要求，否则会出现很大幅值，在实际工程中实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。 指标中的第一项　是对点状态的要求，由于对每个分量要求不同，用加权阵来调整。 7.5.2.1 末端自由问题 构造哈密顿函数 伴随方程及边界条件 最优控制应满足 7.5.2 状态调节器 求导 （矩阵黎卡提微分方程） 边界条件 令 最优控制是状态变量的线性函数 借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制 最优控制 对称半正定阵 例7.5.1 性能指标泛函 最优控制 黎卡提微分方程 最优轨线 最优控制 最优轨线的微分方程 解 黎卡提方程的解 随终点时间变化的黎卡提方程的解 7.5.2.2 固定端问题 （设　　　　） 指标泛函 采用“补偿函数”法 补偿函数 惩罚函数 边界条件 黎卡提方程 逆黎卡提方程 求导 黎卡提方程 乘以 逆黎卡提方程 解 逆 7.5.2.3 的情况 性能指标 无限长时间调节器问题 黎卡提方程 边界条件 最优控制 最优指标 7.5.2.4 定常系统 完全可控 指标泛函 矩阵代数方程 最优控制 最优指标 例7.5.2 黎卡提方程 7.5.3 输出调节器 输出调节器问题 状态调节器问题 指标泛函 令 7.5.4 跟踪问题 问题的提法 已知的理想输出 偏差量 指标泛函 寻求控制规律使性能指标有极小值。 物理意义 在控制过程中，使系统输出尽量趋近理想输出，同时也使能量消耗最少。 指标泛函 哈密顿函数 设 并微分 则最优控制为 得 代入状态方程求解得 令 ，则有 7.2.6.2 固定端问题 ， 性能