第三章 函数逼近与计算1.ppt

例1 设f x 4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2， |x|≤1. 求f x 在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3 x . 2.曲线拟合的步骤： 于是，得到关于c1,c2,…,cn的方程组 四、内积空间上的最佳平方逼近 1．函数系的线性关系 定义： 设函数 在区间 上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立， 函数在 上是线性无关的，否则称线性相关。 则称 连续函数 在 上线性无关的 充分必要条件是它们的克莱姆 Gram 行列式 定理 其中， 是任意实数，则 并称 是生成集合 的一个基底。 的全体是 的一个子集，记为 设 是 上线性无关的连 续函数, 对任意的 为 的最佳平方逼近元。 2、最佳平方逼近元的定义 设 为线性内积空间， 为 上 个 线性无关元， 记由 张成的 的子空间为 ， 即 定义 在 的子空间 中， 求 的在2-范数 意义下的最佳逼近元 ， 即求 ，使不等式 对任意 成立. 若满足上式的 存在， 称 3.最佳平方逼近元的存在性 定理1 设 为线性内积空间， 由线性无关组 张成的线性空间 为 的子空间， 存在 为 的最佳平方逼近元. 则对任意的 Remark: 线性内积空间 的子空间 的线性无关组 选取不同， 在 中求得的对 的最佳 平方逼近元 也不同，求解 的难易程度也不同。 4. 最佳平方逼近元的充要条件 定理2 内积空间 为 的最佳平方逼近元的充要条件是： 线性 与一切 正交。 其中， 为 的 个线性无关元。 REMARK： 定理2中所说的 与一切 正交， 与一切 的内积等于零， 是指 即 证： 必要性. 用反证法. 设 为 的最佳平方逼近元， 不与所有的 正交. 但 即存在 使得 则 令 所以 必须与一切 正交. 且 这说明 不是对 的最佳平方逼近元， 与假设条件矛盾， 充分性. 仍记 则对任意的 ，有 而 对任意 成立, 即 为 的最佳平方逼近元。 所以 进而有 5.最佳平方逼近元的惟一性 定理3 线性内积空间 的子空间 中若存在对 的 最佳平方逼近元，则惟一. 6. 最佳平方逼近元的求解 现假定线性内积空间 上的内积已定义， 并且 的 子空间的一组基底 也确定， 最佳平方逼近元. 那么，对具体的被逼近元 如何求 使其为 的 由最佳平方逼近元的充要条件， 若假定 则可以得出 其中 为待定系数。 恒等变形为 用矩阵式表示这个方程组为 此方程组称为法方程组。 若所选取的一组基底 满足 则称其为正交基，此时 五、连续函数的最佳平方逼近 1. 对于给定的函数 要求函数 使 若这样的 存在， 上的最佳平方逼近函数。 则称为 在区间 特别地，若 则称 为 在 上的 次最佳平方逼近多项式。 求最佳平方逼近函数 的问题 可归结为求它的系数 ,使多元函数 取得极小值。 由于 是关于 的二次函数， 故利用多元函数取得极值的必要条件，可得 k 0, 1, 2, …, n 得方程组 如采用函数内积记号 方程组可以简写为 写成矩阵形式为 法方程组！ 由于?0, ?1, …, ?n线性无关，故Gn ? 0，于是上述方程组 存在唯一解 。 从而肯定了函数f x 在?中如果存在最佳平方逼近函数， 则必是 3.举例 求 在 中的最佳平方逼近元。 这是 上的最佳平方逼近问题. 解： 取 记 因为 且同样可求得 所以，关于 的法方程组为 解得 即 为 中对 的最佳平方逼近元。 寻求最小零偏差多项式 的问题 求 的 次最佳一致逼近多项式的问题。 事实上等价于 即求 使其满足： ~ Pn?1 注： 在 上首项系数为1的最小零偏差多项式为 。 设 为 上的 次多项式， 要求 在 上的不超过 次的最佳一 致逼近多项式 。 由于首项系数为1的 次Chebyshev多项式 无穷范数最小， 故有 于是 解 由f x 的表达式可知b４＝４, 注：对区间为［a,b］的情形，先作变换 x b-a t/2+ b+a /2 2 然后对变量为t的多项式用 1 式求得pn t ，然后再作 2 式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式. 由 1 式得 p3* x f x -4T4 x 2x３－x２＋8x-3. 首项系数为1的4次 Chebyshev多项式为: T4 x ＝x４－x２＋1/8. 近似最佳一致逼近多项式 设 且存在 阶连续导数 如何在 上确定互异的插值节点 使得 的 次插值多项式的余项最小？ ? 由插值余项定理， 次插值多项式 的余项为 其中， 其估计式为： 因此，要使余项达到最小，只需使 尽可 能小。 是一个首项系数为1的