第五讲：全微分方程.ppt

第五讲 全微分方程与积分因子 例5 3、若可从方程（1）解出 y，即 解法： * * 三、积分因子法 一、全微分方程与原函数 二、全微分方程判定定理与不定积分法 四、小结 定义: 即 若 例如 全微分方程 或恰当方程 是全微分方程， 一、全微分方程与原函数 的左端恰好是某个二元函数的全微分， 则称（1）为全微分方程或恰当方程， 称为（1）的一个原函数。 是方程的一个原函数。 容易证明，如果 是微分方程（1）的一个原函数，则（1）的通积分为 其中C为任意常数。 于是，求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。 例如 我们通过观察寻找方程的一个原函数。 对于一个一般的方程，怎样判断它是否是全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？ 二、全微分方程判定定理与不定积分法 定理：设函数 M x,y 、N x,y 在 xoy 平面上的单连通区域 D 内连续可微，那么方程 1 是全微分方程的充要条件是在 D 内恒成立 演示证明。 一般地，若 为全微分方程，则它的通积分为 从而求得一个原函数 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例2 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例3 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? 3、积分因子法 前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些则可利用积分因子化为全微分方程。 我们用反推的办法来求积分因子 为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但对于某些特殊情况，上式可求解。 （2）为全微分方程 以上求积分因子的方法称为公式法。 思考与练习： 试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子 例1: 求解微分方程： 例2: 求解微分方程： 例3 解 则原方程化为 可积组合法 原方程的通解为 公式法 观察法: 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 受上述结论的启发通常我们经常可以选用的积分因子有： 这种方法给我们又提供了一种求解微分方程的方法---可积（微）组合法，请看下面的例子： 解 将方程左端重新组合,有 例4 求微分方程 原方程的通解为 解 将方程左端重新组合,有 原方程的通解为 可积组合法 例5 求微分方程 解1 整理得 A 常数变易法: B 公式法: 例6 一题多解： 解2 整理得 A 用公式: B 凑微分法: C 不定积分法: 原方程的通解为 作业：P38 T1（1）（3）（5） , T2, T5 拓展思维训练题： 若能从 1 解出 y 的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。 前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（ ） 一阶隐式微分方程是指 第六讲 一阶隐式方程的解法 例1: 试求解微分方程： 本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。 （1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程 （3）可解出 y 的方程 若不能从 1 解出 y 的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。 1、若方程（1）不含y，即 例1 例2： 若方程（1）不含 x，即 则完全类似求解。 例3： 例4： 2、若可从方程（1）解出 x，即 解法： 这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出（1）的解。 * *