第十九章(修改版).ppt

吉林大学 物理教学中心 第十九章 量子力学基础 概 述 19.1 波函数及其统计解释 比照平面波波函数，得到 19.1.2 波函数的统计解释 19.1.3 归一化与标准化条件 二、标准化条件 二、本征值与本征值方程 19.2.3 定态薛定谔方程 19.3 一维无限深势阱 粒子能量满足 19.6 氢原子 19.6.2 氢原子中电子的状态描述 19.7 电子的自旋 L 0 z Lz ml Z 2 1 0 –1 –2 l 2， 只有五种可能的取向。 例如： 空间量子化的意义： 由同一个 n 和 l 表征的微观态，又有（2l+1）个可能的不同运动取向，即（2l +1）个不同的量子态。 一、描述电子状态的量子数 （1）主量子数n 决定氢原子中电子的能量。能量是量子化的，形成了原子能级。 （2）角量子数l 决定电子绕核运动的角动量。动量矩的量值是量子化的。 （3）磁量子数ml 决定电子绕核运动角动量的空间取向。角动量空间取向量子化。 n 1, 2, … l 0, 1, 2, …, n-1 * 量子力学是描述微观粒子运动的基本理论，是近代物理学两大理论支柱之一。 主要内容： 1、量子力学基本概念与原理； 2、在势阱、原子结构等方面应用。 量子力学既适用于微观世界，也适用于宏观世界。 19.1.1 波函数 （Wave function ） 与温度相关 写成复数形式 1. 平面简谐波的波函数 对振幅A、频率n、波长l沿 x 轴传播的平面波 2. 自由粒子波函数 能量E和动量 保持恒定。与自由粒子相联系的 物质波频率n＝E/h和波长l h/P 也都保持不变。 式中 — 波矢 — 角频率 推广到一般情况，其波函数可以写成 是传播方向的单位矢量。 称为自由粒子状态波函数， 是振幅。 （2）在随时间和位置变化力场空间里的粒子，k、ν随时间空间变化，波函数要复杂一些。 （1）波函数是波粒二象性的统一，可以描述粒子状态，也称态函数。是量子力学基本原理（假设）之一。 在空间的某一点波函数模的平方和该点找到粒子的几率成正比。 物质波是粒子在空间的概率分布的概率波。 1. 电子衍射的玻恩统计解释 2. 数学表示 t时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度（probability density）。 粒子的状态用波函数 描写，则在 t 时 找到粒子的概率 dW（x, y, z, t）： 其中 称为概率密度。 即： 刻，在坐标 区域内 一、波函数的归一化 根据统计解释, 要求粒子在空间各点的概率的总和为1。 （归一化条件） 归一化波函数 归一化过程 归一化常数 对于概率波，比较F x,y,z,t 和Y x,y,z,t 两者概率密度相同，所以这两个波函数描写的是粒子的同一状态。 波函数的有限性： 根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。 波函数的单值性： 根据统计解释，要求波函数单值，从而保证概率密度在任意时刻都是确定唯一的。 势场性质和边界条件要求波函数本身及其一阶导数是连续的。 波函数的连续性： 例19.1 氢原子核外电子的波函数是球对称的，其基态波函数为 。式中C为常数，r为离核的距离， 。 试求：（1）在核外任一厚度为的球壳内找到电子的概率； （2）归一化常数； （3）电子概率密度最大的位置。 解 （1）在离核r处，厚度为dr的球壳的体积为 在该体积内找到电子的概率为 （2）根据归一化条件，有 由此式得： （3）由（1）得到概率密度是 求导得 取极值，令上式等于零。得 表示在坐标x附近单位长度内找到粒子的概率，即概率密度。 例19.2 一维运动的粒子处在由波函数 描述的状态，求归一化因子A。 解：根据归一化条件 求解得出 归一化以后的波函数 薛定谔方程 问题提出 经典粒子 微观粒子 薛定谔方程 一、薛定谔方程建立 1.自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，波函数是： 微分,得到方程 同样 引入拉普拉斯算符 利用 ——自由粒子薛定谔方程。 得到 2.算符规则 作用一个函数而得到另一个函数运算符号 能量算符： 能量 E 能量算符 动量算符： 动量 动量算符 其中 3. 粒子薛定谔方程 在势能为 力场中，粒子能量是 相应哈密顿算符为 薛定谔方程 4.多粒子体系 二、薛定谔方程的特点 对N个粒子体系，有 10 薛定谔方程是时间的一次微分方程，而牛顿方 程是二次方程 20 薛定谔方程中包含“i”因子，因此波函数为复数，无直接物理意义，并不影 响由此得出的各种物理信息的实际意义。 30 薛定谔方程的建立引用了经典结果，是非相对论结果。且方程不适合 质量m 0 的结果。 40 薛定谔方程的解满足态叠加原理