8.多元函数的极值及其求法教材.ppt

一、问题的提出 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 令 驻点为 4,0 , -4,0 算出 1 , 2 最值嫌疑点的值，比较大小得 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 思考题 思考题解答 已知平面上两定点 A 1 , 3 , B 4 , 2 ,试在 椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 x , y , 则 练习 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点C与E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 补充： 其中 练 习 题 * 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大利润？ 每天的利润为 求最大利润即为求二元函数的最大值. 1、二元函数极值的定义 二、多元函数的极值和最值 1 2 3 例1 例２ 例３ 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 解 解 由 唯一驻点 0,0 可是在点 0,0处 由于 易知在 0,0 的任何邻域内f 的值都有正有负，所以 0,0 不是f 的极值点。 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 3、多元函数的最值 函数f 在有界闭域上连续 函数f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时， 为极小值 为最小值 大 大 依据： 求有界闭区域上连续函数最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 解 如图, 解 由 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 极值问题 无条件极值: 条件极值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 例如 , 转化 方法2 拉格朗日乘数法. 分析：如方法1所述, 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极 故极值点必满足 记 例如, 值问题, 故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日 Lagrange 函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 解 则 解 可得 即 解：分析：这种在有界闭区域上求最值（极值）的问题是混合问题，它可以分解为两个问题： 由 驻点为 0,0 , 2,0