《1.5定积分的概念》_选修2-2论述.ppt

1.5　定积分的概念 1．5.1　曲边梯形的面积 1．5.2　汽车行驶的路程 1．5.3　定积分的概念;【课标要求】 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． 【核心扫描】 1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点) 2．学会求定积分．(重难点);自学导引 1．连续函数 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的 函数．;2．曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割，以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．;即把区间[0,1]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个 面积的近似值，对这些近似值求和，就得到 面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好．也即用化归为计 算 和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．;平行于x轴的直线段 ;3．求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．即将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值．;想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 提示　为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．;定积分 ;积分下限 ;直线x＝a ;6．定积分的性质;名师点睛 1．求曲边梯形面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；;③求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．;3．正确理解定积分的概念 (1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．;(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即 (称为积分形式的不变性)，另外定积分 与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得的值也就不同，例如 的值就不同．;题型一　求曲边梯形的面积 【例1】 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积S. [思路探索] 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、求和、取极限四个步骤进行．; 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点： ①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．; 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代