01 复变函数.ppt

* * * 代入 拉氏方程 * 代入 拉氏方程 即 亦即 积分一次 再积分一次 于是有 至此，电力线（矢线） 已顺利求得。 * 1.4.节 例2. 已知解析函数f z 的虚部，求其实部u x,y 。 剩下的任务为求等势线 解： 利用极坐标和凑全微分显式法 极坐标C-R条件 * 直角坐标下等势线方程为 令 得 * 带电金属平板的静电场， ：金属板 ：等势线； ：电力线 x y * 4. 多值函数 1 定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值 w与之相对应， w 便称为z的多值函数。 例1. 为何要研究它：对某些定积分的计算能起到帮助作用。 上式指出，存在无穷多个幅角 ，但因为 和 对应于同一个复平面上的点，故只有两个幅角是相互独立的。 * 这两个幅角对应的根值称为两个单值分支： u v 例2. 存在无穷多个v, 但每个v相互独立，故有无穷多个单值分支。 总结一下： 多值函数中最常用两种，根号函数和对数函数 根号函数有两个单值分支，对数函数有无穷多个单值分支 w f z 多值性的起源均来自自变量z幅角的多值性 思考题： 有几个单值分支？ 2 由函数的多值性带来的一个独特现象 ? 当自变量z沿一闭合 轨道连续变化时，多值函数w可能出现不连续现象 从 出发 绕红线 含z 0! ， 绕紫线 不含z 0! ， * * 3 支点 对于多值函数 w f z , 如绕某点z0一周，函数值w 不复原，而当z 不绕z0点转一圈回到原处时，函数值还原。则称z0 点为f z 的支点。 z绕支点n圈，函数值复原，该支点称为n-1阶支点。Z 0是 的一阶支点。 亦是其一阶支点。 因此, 为了完全确定多值函数 w f z 的函数值w与自变数z之间的对应关系,除了要在某一点 z 规定函数的对应值,还必须说明z的变化路径! * x y o x y o arg z 0 arg z 2? arg z 2? arg z 4? 平面 平面 4 黎曼面 建立两个复平面，把 的自变量点绘在第一个 平面上，把 的自变量点绘在第二个平面上。 割线的概念 - 在T1上，0与2Pi不连续，同样在T2上2Pi 与4Pi不连续。 * * Riemann 面概念：在 Riemann 面上，多值函数变为解析 的单值函数，即 z 与 w 是一一对应的。 平方根 的Riemann面 2页 * 立方根 的Riemann面 3页 * 对数函数 的Riemann面 无穷多页 * 本章基本要求： 1. 理解解析函数的定义。 2．掌握C-R条件与解析函数及调和函数的 关系。 五、复变函数导数存在的充分必要条件 u x,y 及 v x, y 可微且满足C–R条件 f z 在区域B内点z可导的充要条件是： 证明：1. 充分性。由于u,v可微，故u,v的全微分存在，即 ：无穷小量 对于任意的Δz Δx + i Δy ，有： * ，极限存在且相同 可导 而 即 * C.R. C.R. 2.必要性。由f z 在点z可导，得 有确定极限，即 f ‘ z 存在 ξ,η存在。由上式和导数定义得： 设 则有： 令 * 则有： 根据定义： 因为 ξ , η 存在，说明　　　　存在。 故 故还可证明C– R条件。 * 因为 f z 在z处可导，则有 在z处连续， 也即　　　　连续。 所以　　　　存在且连续。 同理　　　　存在且连续。 根据补充的高数定理，所以u,v可微。 因为 * f z z2 在 z0 点的导数： 例1： 显然u,v为连续可微函数 显然u,v也满足C-R条件 故而f z z2可导！ （1） （2） * f z |z|2 在 z0 点的导数： 例2： 显然u,v为连续可微函数 但u,v不满足C-R条件（z 0除外） 故而f z |z|2不可导（z 0除外）！ （1） （2） 如果 z0 0, 如果 z0?0, 可导!! 故极限与 方向有关，不可导!! * 复变函数求导方法 如果存在）: 一、 已知 f z , 求导: 与实变函数求导类似。 二、已知 u x,y +iv x,y , 求导: 例： * 1、解析函数的定义： ? z0 z0 邻域 六、解析函数（重要概念） 如果单值函数f z 在点z0及其邻域内处处可导， 则称f z 在z0 点解析。 又若f z 在区域B上每一点都解析 可导 ，则称 f z 是区域B上的解析函数。 可导与解析的区别: 解析一定可导，可导不一定解析！ 2. 若函数在点z0不解析,则称点z0是f z 的奇点。? 例1：函数 在 z 0 点无定义，故 z 0 是 f z 的奇点。 说明：下述情况之一的点z0都是奇点： a. f z 在点z0无定义或无确定值；b.