矩阵论定义定理总结.doc

矩阵论 1．行列式的相关知识： 1.1定义：由个数组成的一个n阶行列式为 即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，其中每一项的符合由排列的奇偶性决定。 n阶行列式的展开原理： 定义1.1.2在n阶行列式D中，任选k行和 k列（），将其交叉点上的个元素按原来位置排成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式。在D中划去M所在之k行k列后余下的个元素按照原来位置排成的n-k阶行列式，称为M的余子式。 定义1.1.3 设D的k阶子式M在D中所在行列指标分别是 和，则称 为M的代数余子式，其中为M的余子式。 定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定k 行，则由这k行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D。 定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组 （1.1.7） 的系数行列式 则方程组（1.1.7）有唯一解，且，其中是将中第列换成（1.1.7）式右端的常数项所得的行列式，即 该定理通常称为克莱姆法则。特别地，当时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解 行列式的降阶定理 定理1.6.1设A和D分别为n阶及m阶的方阵，则有 定理1.6.2设A，B，C，D皆为n阶方阵，且满足AC=CA，则 定义1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 引理1.3.1若齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩rn,则方程组必有非有非零解。 定理1.3.2 n阶方阵A的行列式的充要条件rank(A)n 定理1.1.3 矩阵A的秩为r的充要条件是A中至少有一个r 阶子式不为零，且其所有的r+1阶子式全为零。 定理1.3.4 设A，B是数域P上的两个n阶方阵，则即矩阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。 定义1.3.4 数域P上的n 阶方阵A称为非奇异的（可逆矩阵，满秩矩阵），若；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵）。 定理1.3.5设A是数域P上的矩阵，B是数域P上的矩阵，则 即乘积的秩不超过各因子的秩。 定理1.3.6 设A是一个矩阵，如果P是s阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵，那么 定义1.3.5设是一个n阶方阵，A的主对角元素 的和称为A的迹，并记之为,即 解的判别定理 定理1.4.1线性方程组 有解的充要条件为。其中 系数矩阵A与增广矩阵B的秩之间只有两种可能，即 或 定义1.4.1齐次线性方程组 （1.4.5） 的一组解称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若 1）线性无关； 2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用线性表示。 定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，且基础解系所含解的个数为，其中r为系数矩阵的秩。 矩阵的初等变换与初等矩阵 定义1.5.1数域P上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换： 1）以P中非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行； 3）互换矩阵中两行的位置。 同理定义初等列变换，统称为初等变换。 定义1.5.2单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。 定理1.5.1对一个矩阵A作一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的初等矩阵。对A作一次初等列变换，则相当于对A右乘一个相应的初等矩阵。 定义1.5.3矩阵A与B称为等价的，若B可由A经过一系列初等变换得到。 定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。 推论1.5.1 n阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。 定理1.5.3 矩阵A与B等价的充要条件是有初等矩阵 使 推论1.5.3两个矩阵A与B等价的充要条件为存在可逆阵P与可逆阵，使得 定义1.5.4数域P上n阶方阵A与B称为合同的，若数域P上存在可逆的n阶方阵C，使 合同必等价，等价不一定合同。 分块矩阵的秩 定理1.6.4设n阶方阵其中为阶方阵，且。则 定理1.6.5设A和D分别为n阶和m阶的方阵，则 定理1.6.8设A与B分别为和矩阵，则 线性空间与线性变换 集合 映射 变换 线性空间 基 维数 坐标 （略） 定义2.2.2 设与是n维线性空间V的两个基，且 则矩阵A称为由基到的过渡矩阵 还有坐标变换公式 定义2.2.2数域P上的两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，且 1） 2） 其中是V中任意向量，k是P中任意数。此时就称为与的一个同构映射。 定理2.2.1数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。 子空间（略） 定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理2.3.3（其中是由生成的空间） 定理2.3.4设W是数域P上的n维线性空间V的一个m维子空间，是W的一个基，则