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心中有数　 第一节 例2. 考察函数 在原点的二重极限. 解: P59 故原函数的二重极限不存在. 例2. 考察函数 在原点的二重极限. 证: 故 总有 欲证 例3. 求证： P58 例4 回忆一元函数: 1 函数 在点 的某邻域内有定义， 存在； 则函数 连续. 定义2: 定义1: 若 例4.求极限 解 P59 例5 若令 记 则 设函数z f x,y 的定义域为D，聚点 若 则称函数z f x,y 在 处连续. 1.定义： 点连续 四、 多元函数的连续性 2. 间断点： 说明: 多元函数的间断点不一定是孤立的,可以连成 一条线. 试想连续与间断的几何意义是什么呢? 例如, 函数 在点 0 , 0 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 0, 0 为其间断点. 在圆周 确定二元函数极限不存在的方法： ☆令P x,y 沿y kx趋向于 若极限值与k有关， 则可断言极限不存在； ☆找两种不同趋近方式， 使 存在， 但两者不相等， 此时也可断言f x,y 处极限不存在. 在点 ☆取一种趋近方式，若极限不存在, 函数极限不存在. 则可以断定 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数 在 D上连续. 3.多元初等函数： 如： 一个式子所表示的多元函数， 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 叫多元初等函数. 定理： 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * 河南城建学院精品课程《高等数学》 * 河南城建学院精品课程《高等数学》 例如 例如 第九章　多元函数微分法及其应用 知识结构：第一节　多元函数的基本概念 一、平面点集　ｎ维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 教学目的：使学生了解邻域、区域、多元函数等概 念，会求简单二元函数的极限，并了解多 元函数的连续性 教学重点：多元函数的极限及连续性 教学难点：多元函数极限不存在的证明 教学方法：以讲授为主配以学生练习和发言 解： 设所求直线的方向向量为 根据题意知: 所求直线的方程为： 平行的直线方程. 纠正作业 P49T7 解： 解: 11. 求过点 1 , 2 , 1 且与直线 解： 先求垂足的坐标，然后求两点的距离. 推广 第九章 一元函数微分学 导数,微分及其应用 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 这也是学习方法 . 多元函数微分法及其应用 第九章 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间 1.平面点集: 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合, 称为平面点集. 如： o x y o x y ---平面上所有点的全体 一、平面点集 n维空间 2. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, 圆邻域 2 若不需要强调邻域半径? ,也可写成 3 点 P0 的去心邻域记为 4 在空间中 球邻域 说明: 不包括圆周上的点 3. 区域 1 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U P ? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U P ∩ E ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U P 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E ; E 的外点必不属于 E ; E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 如： 内点： 外点： 边界点： o x y 2 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 如： 边界 上的点都是聚点但不属于集合． 边界 上的点都是聚点也都属于集合． o x y 1 内点和边界点一定是聚点；外点一定不是聚点. 说明： 2 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． D 3 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. D 的折线相连 ,则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; ? ? ? ? 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D，都有 ?OP? K ,