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9-2 直角坐标系计算二重积分
◇ 直角坐标下二重积分的计算 ◇ 小结 一、利用直角坐标系计算二重积分 说明: 1 若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域 , 例1 计算 例2 计算 例3 计算 例5 交换下列积分顺序 二、小结 * * §2 二重积分的计算 一 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型］ X型区域的特点:穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 2 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 解: 积分区域如图 例4 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 解: 例6 分部积分公式 解 例7 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 解: 积分区域如图 思考与练习 * *
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