ch4 级数讲课.ppt

练习 1．下列序列是否有极限？如果有极限，求出其极限. 1 ; 2 . 练习 练习 练习 练习 练习 解 解 将函数 在 点展开为幂级数。 例 将函数 在 点展开为幂级数。 例 解 解 将函数 在 点展开为幂级数。 例 * 泰勒级数的应用举例 —— 计算斐波拉契数列的通项 1. 斐波拉契 Leonardo Fibonacci， 约1170 ~ 约1240， 意大利业余数学家。 3. 斐波拉契数列 2. 兔子问题 一对 超级 小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又 可生一对 超级 小兔，问 n 个月后，共可得到多少对兔子？ 4. 计算斐波拉契数列的通项 1 变换 z 令 由 有 将 代入上式并求解得 泰勒级数的应用举例 —— 计算斐波拉契数列的通项 4. 计算斐波拉契数列的通项 2 泰勒级数展开 其中， 泰勒级数的应用举例 —— 计算斐波拉契数列的通项 D C z0 作圆 G ， 附：泰勒定理的证明 R z r G z 由柯西积分公式有 由 有 如图以 为圆心， 为半径 z0 证明 设 z 为 G 内任意一点。 附：泰勒定理的证明 证明 其中， 下面需证明 交换 次序 D C z0 z r G z 附：泰勒定理的证明 证明 由 在 D 内解析， 连续， 有界， 即 又 有 返回 附：分式函数的长除法 以 为例： 分子与分母均按升幂排列 当 时， 返回 6．求下列函数在指定点z0处的泰勒展式. 1 2 §4.4 洛朗级数 一、含有负幂次项的“幂级数” 二、洛朗 Laurent 定理 三、将函数展开为洛朗级数的方法 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 引例 根据前面的讨论已知， 函数 在 点的幂级数 展开式为 事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点， 但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开 为 z 的幂级数， 而在 如此广大的解析区域内不能 展开为 z 的幂级数。 有没有其它办法呢？ 一粒老鼠屎，坏了一锅汤！ 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 设想 这样一来，在整个复平面上就有 由 ， 有 从而可得 一、含有负幂次项的“幂级数” 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 复平面上展开 除了奇点所在的圆周上 。 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数: 一、含有负幂次项的“幂级数” 分析 2. 级数 的收敛特性 将其分为两部分： 正幂次项部分与负幂次项部分。 A B 1 对于 A 式，其收敛域的形式为 2 对于 B 式，其收敛域的形式为 根据上一节的讨论可知： 一、含有负幂次项的“幂级数” 结论 2. 级数 的收敛特性 1 如果级数 收敛， 则其收敛域“一定”为环域： ① 如果只含正幂次项 或者加上有限个负幂次项 ， 特别地 则其收敛域为： 或 ② 如果只含负幂次项 或者加上有限个正幂次项 ， 则其收敛域为： 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 一、含有负幂次项的“幂级数” 结论 2. 级数 的收敛特性 1 如果级数 收敛， 则其收敛域“一定”为环域： 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 2 级数 在收敛域内其和函数是解析的, 因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开 为上述形式的级数。 R2 z0 R 1 D 二、洛朗 Laurent 定理 设函数 在圆环域 定理 C 为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 解析, 内 在此圆环域中展开为 则 一定能 其中， 证明 略 z C 进入证明? 注 1 展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。 二、洛朗 Laurent 定理 R2 z z0 R 1 C D 注 2 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数 二、洛朗 Laurent 定理 的解析部分和主要部分。 3 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项 的级数是唯一的。 4 系数 ? 5 若函数 在圆环 内解析，则 在 在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。 三、将函数展开为洛朗级数的方法 1. 直接展开法 根据洛朗定理，在指定的解析环上 R2 z z0 R 1 C D 直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！ 三、将函数展开为洛朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、 代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式 2. 间接展开法 三、将函数展开为洛朗级数的方法 都需要根据函数的奇点位置，将复平面 或者题目指定 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前， 注意 的展开区域 分为若