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4.2 传染病模型 一、问题的提出 模型2 tm~传染病高潮到来时刻 k 日接触率 ? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t tm, dI/dt 最大 －ｔ曲线 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为h h ~日治愈率 建模 k ~ 日接触率 1/h ~感染期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 模型3 接触数? 1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率k , 日治愈率h, 接触数 ? k/ h 建模 需建立 的两个方程 模型4 消去dt SIR模型 相轨线的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 及其分析 s t 单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P3 P4 P2 S0 传染病蔓延 传染病不蔓延 P1: S0 ρ? I t 先升后降至0 P2: S0 ρ ? I t 单调降至0 ρ~阈值 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 k 日接触率 ? ? 卫生水平? h 日治愈率 ? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——S0 ρ ρ的估计 降低 S0 提高 R0 提高阈值 ρ k ?, h ? 群体免疫 模型5 有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，但有人口出生. 定常出生的 SIR模型 假设 1）病人、健康人和移出者分别为 2）病人的日接触率k, 日治愈率h, 接触数 ? k / h ,人群以定常出 生率? 增长. 建模 需建立 的三个方程 模型5 定常出生的 SIR模型 研究平衡解及其稳定性 无法求出 的解析解 4.3 放射性衰变与考古计年模型 同位素与放射性衰变 同位素：具有相同质子数，不同中子数的同一元素的不同核素互为同位素。 类似的还有碳（ ），铀（ ） 同位素的衰变 同一元素的同位素，许多是稳定的，但也有一些同位素是不稳定的. 这些不稳定的同位素具有放射性. 它们通过放射粒子而变为同一元素的不同的同位素或者不同元素的同位素，称之为同位素的衰变. 放射性同位素的用途 放射性同位素电池 血管造影 同位素追踪 问题 地球到底能存在多长时间？ 地球已经存在多长时间？ 地球上的生物已经存在多长时间？ 人类已经存在多长时间？ 一座古墓已经存在多长时间？ 一幅古画的真伪？ 例1 马王堆古尸的年龄 湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月出土 当时测得出土的随葬木炭样本中放射14C的放射性蜕变物的速率为29.78次/分， 而新砍伐烧成的木炭中放射14C蜕变物的速率为38.37次/分。 使用14C计年法可以确定墓葬的大致年代。 1. 同位素与放射性衰变 10. 同位素：原子中核电荷数（质子数）相同 但具有不同的质量（中子数）的元素。 它们的化学性质相同， 在周期表中处于同一个位置。元素符号相同。 在左上角为原子核数，左下角为质子数。 如：11H，21H，31H， 126C，136C，146C， 23492U，23692U 等。 20. 放射性同位素的蜕变 同位素有稳定和不稳定的同位素两种。 不稳定的同位素具有放射性， 通过放射粒子而变为同一元素的不同的同位素 或者不同元素的同位素。 称之为同位素的蜕变。 146C→ 147N， 8737Rb→ 8738Sr， 238U→234U →230Th 北美五大湖，数字是排尽湖水所需要的年数 * 北美五大湖，数字是排尽湖水所需要的年数 * 对于密执安湖，有 T1/2 21年。 对于苏比利尔湖，有T1/2 131年。 V 0 * 第四章 微分方程模型 4.1 湖水污染模型 4.2 传染病模型 4.3 放射性衰变与考古计年模型 微分方程建模 对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有问题的通用法则，但我们可以注意以下几点： （1）转化：在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速度”、“增长”、“衰变”、“边际”等。“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等词都是信号，要注意什么在变化，导数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循着下面的模式： 净变化率 输入率－输出率 （2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键词。你就想要寻找y