2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题.docVIP

智浪教育—普惠英才文库 2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题 说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分. 第一试 1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论. ? 2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线. ? 3.在1,2,…,2007这2007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数. ? 第二试 1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,,则=________________ . 2.已知,则代数式化简的最后结果是_________. 3.代数式113－110x的最小值为__________________. 4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为________________. 5.已知在直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(2 ?, + )、B(,)、C(5 , ).则△ABC的边BC上的高与∠ABC的平分线的交点的坐标为___________. 6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n月份生产abn+c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件. 7.方程3x3+2 x2－(17－9 )x－(6－5 )=0的解为x1= ________,x2=______ ,x3=______ . 8.已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________. 9.已知正方形纸片ABCD的面积为2 007 cm2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D落在边BC上的点D′处,点A落在点A′处,A′D′与AB交于点E.则△BD′E的周长等于______cm. 10.若x为整数,3x200,且x2+(x+1)2是一个完全平方数,则整数x的值等于_____________. ? 参考答案 第一试 1.由题意知,方程①的判别式Δ1=b2+4a(a－3)≤0 ?b2+(2a－3)2≤9 ∴ －3≤b≤3,－3≤2a－3≤3 ∴b－3≤0,0≤a≤3. 当b－3=0时,方程②化为－x+=0,有解. 当b－30时,方程②的判别式Δ2=(a－2b)2－12(a+1)(b－3)0, 此时也有解. 综上所述,方程②一定有解. 2.以E为圆心、EB为半径作圆,则点P、C都在该圆的圆周上.联结EC.则 ∠PAE=90°－∠ABC=90°－ ∠PEC=∠EPC. 因此,EP是△APF的外接圆的切线. 3.将1,2,…,2 007分别用7除,余数为1、2、3、4、5的各有286+1=287个;余数为6、0的各有286个. 在1,2,…,2 007中,与2 007不互质的数有3,2×3,3×3,…,669×3以及223,2×223,4×223,5×223,7×223,8×223. 将这些与2 007不互质的数分别用7除,余数依次为3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,…,3,6,2,5以及6,5,3,2,0,6. 于是,在这些与2 007不互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个. 在1,2,…,2 007且与2 007互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个. 要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数,至多取2个余数为0的数.由于余数为(1,3,3)、(3,2,2)、(2,6,6)、(6,4,4)、(4,5,5)、(5,1,1)以及(1,2,4)、(3,6,5)的三数的和都是7的倍数,因此,至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数. 经验证可知,取2组余数为1、4的全部数,再取2个余数为0的数,符合题目的要求,且取出的数的个数达到最大值.故最多可以取出192+192+2=386个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数. ? 第二试 1.2 ?－ ?. 2.. 3.3. 令y=113－110x,则y2+220xy=3×223x2+3×1132, ? 3×223x2－220yx+3×1132－y2=0. 故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y2