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太原理工大学博士研究生入学考试专业基础课考试大纲 参考书目 《数值分析》(第5版)，李庆扬?，王能超，?易大义著，清华大学出版社，2008 考查要点 一、数值分析与科学计算引论 1. 误差的基本概念：误差来源与分类，截断误差，舍入误差，绝对误差、相对误差和误差限，有效数字。 2. 误差定性分析与避免误差危害：算法的数值稳定性，病态问题与条件数，避免误差危害。 3. 数值计算中算法设计的技术：多项式求值的秦九韶算法，迭代法与开方求值，以直代曲与化整为“零”，加权平均的松弛技术。 重点：误差、避免误差的若干原则。 二、插值方法 1. 插值问题的基本概念：插值问题的提法，插值多项式的存在唯一性。 2. Lagrange插值：线性插值与抛物线插值， Lagrange插值，插值余项公式。 3. Newton插值：均差的概念与性质，Newton插值公式及其余项，差分的概念与性质，等距节点的Newton插值公式。 4. Hermite插值：两点三次Hermite插值及其余项，n点Hermite插值，非标准Hermite插值及其余项。 5. 分段低次插值：Runge现象，分段线性插值，分段三次Hermite插值。 6. 三次样条插值：三次样条函数与三次样条插值，构造三次样条插值的三弯矩方法。? 重点： Lanrange插值、Newton插值。 三、函数逼近与曲线拟合 1. 正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，Legendre多项式。 2. 曲线拟合的最小二乘法：最小二乘拟合问题的提法，最小二乘拟合问题的解法，非线性拟合问题（指数模型、双曲线模型），最小二乘法的其他应用（算术平均、超定方程组）。?? 3. 连续函数的最佳平方逼近：最佳平方逼近问题的提法，最佳平方逼近的解法，基于正交函数的最佳平方逼近，利用Legendre多项式作最佳平方逼近。 重点：曲线拟合的最小二乘法。 四、数值积分与数值微分 1. 数值求积基本概念：数值求积公式基本形式，插值型求积公式，代数精度。 2. Newton-Cotes求积公式：Newton-Cotes公式一般形式，梯形公式和Simpson公式及其余项，数值稳定性。 3. 复化求积公式：复化梯形公式，复化Simpson公式，复化公式的余项，复化公式的收敛性。 4. Gauss型求积公式：Gauss型求积公式的概念（???高代数精度、插值型），Gauss点的特性，Gauss-Legendre求积公式，Gauss公式的余项、稳定性。 5. Romberg算法：二等分过程梯形公式的递推关系，Richardson外推加速法，Romberg算法。 6. 数值微分公式：基于Taylor展开的数值微分公式，基于插值的数值微分公式。 重点：Newton-Cotes公式、代数精度概念、Romberg算法。 五、解线性代数方程组的直接法 1. 三角形方程组的解法：前推、回代过程。 2．Gauss消去法：顺序Gauss消去法，列主元Gauss消去法。 3. 直接三角分解法：矩阵三角分解，直接三角分解法。 4. 追赶法与平方根法：解三对角方程组的追赶法，解对称正定方程组的平方根法。 5. 向量和矩阵的范数与谱半径：向量范数，矩阵范数，矩阵谱半径。 6. 扰动误差分析：条件数，病态方程组。 重点：方程组的性态和条件数、矩阵的三角分解。 六、解线性代数方程组的迭代法 1．迭代法的基本思想：迭代法的基本概念，基本型迭代公式。 2．Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代：Jacobi迭代，G-S迭代。 3．迭代法收敛性分析：收敛性充要条件，收敛性充分条件，收敛速度。 4．SOR法：SOR法迭代公式，SOR法收敛性条件。 重点：三种基本迭代法的格式、迭代法的收敛性的充分条件。 七、非线性方程与方程组的数值解法 1．基本概念与二分法：基本概念，求根的主要思想，二分法。 2．不动点迭代法:?不动点迭代法，不动点迭代法的收敛性定理，局部收敛性，收敛速度与收敛阶。 3．Newton迭代法：Newton迭代法，Newton迭代法的收敛性，重根的处理，应用举例（如求方根、应用于代数方程等特殊方程）。 4．迭代过程的加速方法：Aitken加速方案，Steffensen迭代法。? 重点：迭代法收敛性条件、Newton迭代法。