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2012年全国中考数学(附答案)压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题2
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2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编
专题9:几何综合问题
24. (2012湖北恩施12分)如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
【答案】解:(1)证明:连接OB,
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=∠AOF=30°。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG=BE=5。
易证Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴。
∴。
又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得,即,解得。
∴⊙O的半径为2AD=。
【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,从而求出⊙O的半径。
25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知:在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN.
(1)如图l,求证:PC=AN;
(2) 如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长.
【答案】解:(1)证明:∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥AB MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA(ASA)。
∴AN=PQ,AM=AP。∴∠AMB=∠APM。
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。
∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC??角平分线的性质)。∴PC=AN。
(2)∵NP=2 PC=3,∴由(1)知PC=AN=3。∴AP=NC=5,AC=8。
∴AM=AP=5。∴。
∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。
∴。
∵,∴BC=6。
∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。
又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。∴。
∵CK:CF=2:3,设CK=2k,则CF=3k。
∴,。
过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。
∴NE=TF=,∴CT=CF-TF=3k-。
∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
∴。
∴,。
∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3,BK=BC-CK=3。
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。
∴。∴tan∠BDK=1。
过K作KG⊥BD于G。
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。
∴BK=5n=3,∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。
∵,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。
∴DQ=BQ-BD=6-。
【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。
(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。
26. (2012湖北十堰10分)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB
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