2012年北京市高考数学理科试卷.docVIP

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 (理) (北京卷) 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，则 （A）（B）（C）（D）（2）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于的概率是 （A）（B）（C）（D）（3）设，．“”是“复数是纯虚数”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 （A）（B）（C）（D） （5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则 （A）（B）（C）（D） （6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （A）（B）（C）（D） （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A）（B）（C）（D） （8）某棵果树前年的总产量与之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前年的 年平均产量最高，的值为 （A）（B）（C）（D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）直线为参数与曲线为参数的交点个数为 ． （10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ． （11）在中，若，，，则 ． （12）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、 两点，其中，点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为 ． （13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为 ． （14）已知，．若同时满足条件： ①，或； ②，． 则的取值范围是 ． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分） 已知函数． （Ⅰ）求的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求的单调递增区间． （16）（本小题共14分） 如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若是的中点， 求与平面所成角的大小； （Ⅲ）线段上是否存在点，使平面 与平面垂直？说明理由． （17）（本小题共13分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾可回收物其他垃圾 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 ，其中，600．当数据的方差最大时，写出 的值（结论不要求证明），并求此时的值． （注：…，其中为数据的平均数） （18）（本小题共13分） 已知函数，． （Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值． （19）（本小题共14分） 已知曲线：． （Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围； （Ⅱ）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线 与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点． 求证：三点共线． （20）（本小题共13分） 设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合． 对于，记为的第行各数之和≤≤，为的第列各数之和≤≤． 记为，，…，，，，…，中的最小值． （Ⅰ）对如下数表，求的值；  （Ⅱ）设数表形如 求的最大值； （Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值． 2012高考北京数学真题答案及简析 一、选择题 题号12345678答案DDBCABBC 二、填空题 题号91011121314答案21；41；1 三、解答题 15．解： （1）原函数的定义域为，最小正周期为． （2）原函数的单调递增区间为， 16．解：（1）， 平面， 又平面， 又， 平面 （2）如图建系，则，，， ∴, 设平面法向量为 则∴∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴与平面所成角的大小 （3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则