第三章平面问题的直角坐标解答03-08.ppt

i j k b 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。） —— 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N 0； 弯矩 M 0； 剪力 Q －ql； x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 可见，这一条件自动满足。 p 截面上的应力分布： 4. 与材料力学结果比较 三次抛物线 材力中几个参数： 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 p ，有 （3-6） x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 比较，得： 1） 第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l 1，该项误差很小，可略；而当 h / l 较大时，须修正。 2） 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。 3） 与材力中相同。 注意： 按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力： 说明式（3-6）在两端不适用。 解题步骤小结： （1） （2） （3） 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。 （4） （5） 将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。 由边界条件确定 中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： 应力函数法求解平面问题的基本步骤： （1） 2-27 （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： 2-26 （3） 再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 求解方法： 逆解法 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的φ x,y 的形式； （2） 然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）； （3） 再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ x,y 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ x,y 可以求解什么问题。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； （2） 根据 与应力函数φ x,y 的关系及 ，求出φ x,y 的形式； （3） 最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。 半逆解法 位移分量求解： （1） 将已求得的应力分量 （2） （3） 代入物理方程，求得应变分量 将应变分量 代入几何方程，并积分求得位移分量 表达式； 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。 例： 悬臂梁，厚度为单位1，τ 常数。求：应力函数 及梁内应力。 x y O b l 解： 1 应力函数的确定 x Q M 取任意截面，其内力如图： 取 作为分析对象，可假设： （a） —— f y 为待定函数 由 与应力函数 的关系，有： （b） 对 x 积分一次，有： 对 y 再积分一次，有： 其中： （c） x y O b l x Q M （c） 由 确定待定函数： （d） 要使上式对任意的x，y成立，有 （e） （f） 由式（ e）求得 （g） 由式（ f）得 （h） （i） 积分式（ h）和（i）得 （j） （k） l 包含9个待定常数，由边界条件确定。 2 应力分量的确定 m 3 利用边界条件确定常数 x y O b l x Q M 3 利用边界条件确定常数 o 代入可确定常数为： 代入式（m）得 x y O b l x Q M 注： 也可利用 M（x） 0，考虑 进行分析。此时有： 为待定函数，由相容方程确定。 x y O b l x Q M * * * §3-1 多项式解答 §3-3 位移分量的求出 §3-4 简支梁受均布载荷 §3-5 楔形体受重力和液体压力 §3-2 矩形截面梁的纯弯曲 第三章 平面问题的直角坐标解答 §3-1 多项式解答 适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ x,y ，能解决什么样的力学问题。 ——逆解法 其中： a、b、c 为待定系数。 因而可作为应力函数。 （1） 1. 一次多项式 （2） （3） 对应的应力分量： 若体力：X Y 0，则有： φ x,y 显然满足双调和方程， 结论1： （1） （2） 一次多项式对应于无体力和无应力状态； 在应力函数φ x,y 上加上或减去一次多项式，对应力无影响。 2. 二次多项式 （1） 其