广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线方程-综合(知识点典型例题考点练习).doc

高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 圆锥曲线综合 . 知识点一　定义和性质的应用 　设F1、F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求eq \f(|PF1|,|PF2|)的值． 解　由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝eq \r(5). 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq \r(5). (1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2， |PF1|2－|PF2|2＝20. 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝\f(10,3)，,|PF1|＋|PF2|＝6，)) 解得|PF1|＝eq \f(14,3)，|PF2|＝eq \f(4,3). 所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(7,2). (2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2. 即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)． 所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝2. 知识点二　圆锥曲线的最值问题 　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值． 解　因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10. 如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB||MA′|=10+|MB||MA′|≤10+|A′B|. 当点M在BA′的延长线上时取等号． 所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2. 又如图所示， |MA|+|MB|=|MA|+|MA′||MA′|+|MB|=10 (|MA′||MB|)≥10|A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号． 所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|A′B|=10 2. 知识点三　轨迹问题 　抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程． 解　设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,x2＝4y))，可得x2－4kx＋4＝0， ∴x1＋x2＝4k. 又AB和RF是平行四边形的对角线， ∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1. 而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4k,y＝4k2－3))，消去k得x2＝4(y＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－160， ∴k1或k－1，∴x4或x－4. ∴顶点R的轨迹方程为x2＝4(y＋3)，且|x|4. 知识点四　直线与圆锥曲线的位置关系 　已知直线l：y＝kx＋b与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点． (1)当k＝0,0b1时，求△AOB的面积S的最大值； (2)⊥eq \o(OB,\s\up6(→))，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程． 解　(1)把y＝b代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，得x＝±eq \r(2－2b2). ∴|AB|=2 ∴S△AOB=×2·b =b=b≤· ， 当且仅当b2 =，即b = 时取等号． ∴△AOB的面积S的最大值为. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(1+2k2)x2+4kbx+2b22=0， ∴x1+x2=，x1·x2= . 又∵OA⊥OB， ∴(x1，y1)·(x2，y2)=0， 即x1x2+y1y2=0. 又x1x2+ y1y2= x1x2 +( k x1+b)(k x2+b) =(k2+1)·x1x2+kb(x1 + x2) +b2 =(k2+1) kb+b2 =， ∴3b2 = 2k2+2. 又设原点O到直线l的距离为d， 则d = . ∴l与以原点为圆心，以为半径的定圆相切， 该圆的方程为x2 + y2 = . 考题赏析