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* 第二章 波函数和薛定谔方程 微观粒子具有波粒二象性 与经典物理的粒子概念不同 需要不同的描述方式 经典物理质点动力学： 牛顿方程： 初始条件 主要结论：位置和动量是状态量；轨道概念，因果律 微观粒子具有波粒二象性 没有轨道概念了！ 量子力学中需用 波函数 取代 位置动量（状态量） 薛定谔方程取代 牛顿方程 第1 3 节 薛定谔方程-Schr?dinger Equation 怎样描述这种波动性？从最简单情况—自由粒子 开始 微观粒子具有波动性并满足德布罗意关系 波动方程需1 线性—能说明干涉衍射现象 2 系数不含状态的参量,E,P,等——否则不能被所有可能的态满足 3 满足自由粒子的能量-动量关系 量子力学中描述自由粒子波动性的函数应该为后者。 自由粒子 P,E常数 相应波动k,ω常数——平面波。 经典物理中这种波动可用下列函数之一描述 第1 3 节 薛定谔方程-Schr?dinger Equation 自由粒子情况 自由粒子情况 一般情况 Schr?dinger Eq. 薛定谔方程是量子力学的基本假设。正确性—由实验检验。 1、Ψ称为波函数 2、它是非相对论性方程 3、因果律 4、推广到多粒子系统 5、另一种描述方式 Heisenberg描述（25年）。 87年生、26年提出、 33年奖 第2 1 节 波函数的统计解释 波函数的统计解释（Born 26年，54年奖）：粒子在空间中某点r附近dτ体积微元中出现的几率正比于 注：波动性是与一个粒子联系，不是多粒子效应 几率波强度决定粒子出现在空间某处的概率，不能决定它何时处于空间某处。没有轨道的概念了！ 波函数 它描述系统的状态，它是复函数 几率密度 Ψ与cΨ （ 描述同样状态。 可归一性 归一化波函数仍然可差一个常相位因子 它满足标准化条件——单值、有限、连续（包括一阶空间导数） 第3 2 节 态叠加原理 态叠加原理：如果 是系统可能的状态，则它们的线性叠加态 也是系统的的一个可能状态。其中 是复数。 为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 注意量子力学的态叠加原理与经典的波叠加原理有差别 量子力学的态叠加原理可只涉及一个粒子的波动性。 例如 一个粒子的态的解释 下面的单光子Mach-Zehnder干涉仪的实验清楚说明了这一事实！ BS Beam Splitter 单光子 Mach-Zehnder干涉实验 光子计数器 单光子 经典：2个计数器都有50%概率计数 量子：只有A计数器计数 附录 Mach-Zehnder干涉仪 BS Beam Splitter 第4节 粒子流密度 矢量 和粒子数守恒定律 Schr?dinger Eq. 几率密度 随时间演化 由薛定谔方程 几率守恒方程（连续性方程） 几率流密度矢量 经典对应：粒子数守恒定律 质量守恒定律、电荷守恒定律 波函数标准化条件解释 几率密度和几率流连续 几率流有限 第5节 定态薛定谔方程 习题p52 2.1和2.2题 加 Schr?dinger Eq. 考虑势能与时间无关情况，即 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 由德布罗意关系知E是系统的能量。 t与r是独立变量 E是常数 定态波函数 也称 为定态波函数 定态——由这种波函数描述的状态。 其能量为确定值 定态薛定谔方程 决定 —定态波函数和E—能量容许值 它也称为能量本征值方程 此时的含时薛定谔方程的一般解 第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理 一维定态薛定谔方程 定理1 一维束缚定态非简并 束缚态 粒子不能跑到无限远去，即 简并、非简并 以能量本征值方程 为例说明 证： 定理2 若 则一维束缚定态有确定的宇称 证：显然若 是定态薛定谔方程的束缚定态解，则 也是。 因此，由定理1知道 逸出功~几电子伏 ~几埃 第6节 一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子 势能是 物理模型：金属中的电子 忽略：1 多维——容易推广 2 多电子效应 3 周期势——固体物理内容 4 室温时，可认为是无限深势 该简化模型能够说明若干量子特征并 说明了求解薛定谔方程的一般步骤 第6节 一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子 势能是 一维定态薛定谔方程 时只有零解 粒子不能在阱外，所以 时 特别地 在阱内（ ），定态薛定谔方程为 其一般解是 边界条件 归一化条件 第6节 一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子 势能是 定态能量是 定态波函数是 1）能量量子化 基态、激发态、基态能量不为零！ 2）定态波函数 3）驻波条件 4）经典对应 5）波函数导数 不满足标准化条件 第6节 一维无限深势阱—多维推广 3维推广 定态能量是 定态波函数是 能态密度（在 时）此时 能态密度 第