2013年西城一模高三数学试题理科word含答案.docVIP

PAGE  第  PAGE 13 页 共  NUMPAGES 13 页 北京市西城区2013年高三一模试卷 数 学（理科） 2013.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集，集合，，那么（A）（B）（C）（D）  2．若复数的实部与虚部相等，则实数（A）（B）（C）（D） 3．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入 角 （A） （B） （C） （D） 4．从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有（A）种（B）种（C）种（D）种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A） （B） （C） （D） 6．等比数列中，，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7．已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是（A）（B）（C）（D） 8．如图，正方体中，为底面 上的动点，于，且，则点的 轨迹是 （A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线的直角坐标方程为 ． 10．设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______． 11．如图，正六边形的边长为，则 ______． 12．如图，已知是圆的直径，在的延长线上， 切圆于点，于．若，， 则圆的半径长为______；______． 13．在直角坐标系中，点与点关于原点对称． 点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______． 14．记实数中的最大数为，最小数为.设△ 的三边边长分别为，且，定义△的倾斜度为 ． （ⅰ）若△为等腰三角形，则______； （ⅱ）设，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数的一个零点是． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）设，求的单调递增区间． 16．（本小题满分13分） 某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下： 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率； （Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分） 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，， ，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面？ 证明你的结论． 18．（本小题满分13分） 已知函数，，其中． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为． （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围． 20．（本小题满分13分） 已知集合． 对于，，定义； ；与之间的距离为． （Ⅰ）当时，设，．若，求； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则； （ⅱ）设，且．是否一定，使？ 说明理由； （Ⅲ）记．若，，且，求的最大值． 北京市西城区2013年高三一模试卷 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．； 10．； 11． 12．，； 13．； 14．，． 注：12、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得， ………