2013年高三数学高考压轴题系列训练.docVIP

你的首选资源互助社区 2013年高考数学压轴题系列训练六 1． 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. 3． 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （Ⅰ）证明 （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值． 5．已知函数和的图象关于原点对称，且． (Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式； (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围． 6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg g(x) 当xDf且x∈Dg 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; 求问题(1)中函数h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. 2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六 1． 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A、B坐标分别为， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 ， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ∴ 同理有 ∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ① 设是方程①的两个不同的根， ∴ ② 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意， ∵N（1，3）是AB的中点， ∴ 又由N（1，3）在椭圆内，∴ ∴的取值范围是（12，+∞）. 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程③的两根， ∴ 于是由弦长公式可得 ④ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ ∵当时， 假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心. 点M到直线AB的距离为 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|， 即 ⑧ 由⑥式知，⑧式左边 由④和⑦知，⑧式右边 ∴⑧式成立