2013年高考理科数学分类汇编函数与导数大题目.doc

PAGE  PAGE 28 高考数学讲座—— 导数的应用 高三数学组 栗文玲 2014.09.19 考情分析：导数及其应用一直是高考数学的重点，热点也是难点，特别是通常出现在理科数学试卷的压轴题中，对考生数学能力的要求较高，试题往往具有挑战性，是能否取得高分的关键。 复习要点：在导数的复习备考中要努力通过以下三关：第一关，会求函数的导函数，即能准确，熟悉地根据导数的运算法则及其基本函数的导数，求出题目中函数的导数，特别要注意运算的准确性，它关系后面结果的对错，第二关，会直接应用导数解题，如利用导数求函数单调性，最值等，第三关，会构造应用，能对试题所涉及的函数进行合理的改造和变形，然后再利用导数解决。 破解技巧：（1）熟悉运用导数研究函数性质的基本程序：先求函数定义域，再求导数，确定导函数的零点，由此可得函数的单调性及最值。 对于含参变量的最值问题，特别要注意分类讨论思想的应用。 对于比较陌生的创新问题，要注意等价转化的思想，化为熟悉的基本问题。 若试题有若干个小题，则特别注意前后小题之间的联系，要利用前面小题所得的结论解决后面问题的意识。 典型例题讲解： 1.（2013北京卷18题）(本小题共13分) 设l为曲线C：在点(1，0)处的切线. ( = 1 \* ROMAN I)求l的方程； ( = 2 \* ROMAN II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方 练习1.已知函数f(x)=x2e-x, 求f(x)的极小值和极大值； 当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。 例2已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 解：函数的定义域为，． （Ⅰ）当时，，， ， 在点处的切线方程为， 即． （Ⅱ）由可知： ①当时，，函数为上增函数，函数无极值； ②当时，由，解得； 时，，时， 在处取得极小值，且极小值为，无极大值． 综上：当时，函数无极值 当时，函数在处取得极小值，无极大值． 4.（2013广东卷21题）．（本小题满分14分） 设函数(其中). (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间； (Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值. 【解析】(Ⅰ) 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表: 极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (Ⅱ), 令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,；当时,； 所以 令,则, 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,, 当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,, 所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 5.（2013广西卷22题）．（本小题满分12分） 已知函数（ = 1 \* ROMAN I）若； （ = 2 \* ROMAN II）设数列 6.（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)0 7.（2013年河南山西河北卷 21）（本小题满分共12分） 已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 （Ⅰ）求，，，的值 （Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】（Ⅰ）由已知得， 而=，=，∴=4，=2，=2，=2；4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 设函数==（）， ==， 有题设可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， （1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， (2)若，则=， ∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， (3)若，则==＜0， ∴当≥－2时，≤不可能恒成立， 综上所述，的取值范围为[1,]. 8.（2013湖北卷22题）设是正整数，为正有理数。 （ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）求函数的最小值； （ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）证明：； （ = 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III）设，记为不小于的最小整数，例如，，。令，求的值。 （参考数据：，，，） 证明：（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I） 在上单减，在上单增。 （ = 2 \*