徐州一中2014届高三数学最后冲刺应用题50练(61页).doc

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设（rad），将表示成的函数； （ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO rad ，则, 故 ，又OP＝， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP km ，则OQ＝10－，所以OA OB 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令0 得sin ，因为，所以 ， 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当 时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H 单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h 4m，仰角∠ABE ，∠ADE 。 该小组已经测得一组、的值，tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值； 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ （1），同理：，。 AD—AB DB，故得，解得：。 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知，得， ，（当且仅当时，取等号） 故当时，最大。 因为，则，所以当时，-最大。 故所求的是m。 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FB xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P 某运输装置如图所示，其中钢结构是，的固定装置，AB上可滑动的点C使垂直于底面（不与重合），且可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为．为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小. （1）当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数（用含有和的式子）； （2）当最小时，点应设计在的什么位置？ 解：（1）在中 ， ………………4分 ， 则， … ……8分 （2） ………………10分 令，则 ………………12分 令得，设 ， 则时，；时 时有最小值，此时. ………………14分 答：当时货物运行时间最短. ………………15分 如图，实线部分DE，DF，EF是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB 2千米，.若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE，DF的长度的比例系数为2，与路线EF的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”是游客游览所有路线“留恋度”的和. （I）试将表示为的函数； （II）试确定当取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？ 如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设． （1）用分别表示和，并求出的取值范围； （2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线的距离为，求BD的最大值． 解：（1）在中，，， 由余弦定理得，， 又，所以 ①， ………………2分 在中，， 由余弦定理得， ②， ………………4分 ①+②得， ①-②得，即， ………………6分 又，所以，即， 又，即， 所以； ………………………………8分 （2）易知， 故， ………………………10分 又，设， 所以， ……………………………12分 又 ……………………………14分 则在上是增函数， 所以的最大值为，即BD的最大值为10． ……………………16分 （利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出 上是增函数，但未给出证明，扣2分．） 如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到A