第五单元第一节_任意角和弧度制及任意角的三角函数分析.ppt

* 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 基础梳理 1. 角的概念的推广 (1)任意角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角；一条射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做 零角. (3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角. (4)一般地，与角α终边相同的角的集合为 {β|β=k·360°+α,k∈Z}. 2. 弧度制 (1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角;用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做 弧度制 .在弧度制下1弧度记作1 rad. 2π rad=360°, (2)设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成的角为α（α为任意角，单位为弧度），旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧，设弧长为l，则有 ，即l=|α|r.特别地，若取r=1，则有l=|α|，若|α|≤2π，则有圆心角为α的扇形的面积为 . 3. 任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为 那么 5. 三角函数值在各象限的符号 + + - - sin - + - + cos - + + - tan 4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）. sin α= MP ,cos α= OM ,tan α= AT. 分析 由于α是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出α的范围，进而求得 , ,2α的范围，判定其所在的象限. 解 由α是第二象限的角,得 k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z). (1)k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°(k∈Z). ①当k=2n(n∈Z)时，n·360°+45°＜ ＜n·360°+90°(n∈Z),则 是第一象限角; 典例分析 题型一 象限角问题 【例1】若α是第二象限的角，则 是第几象限的角？ 是第几象限的角? 2α是第几象限的角. ②当k=2n+1(n∈Z)时，n·360°+225°＜ ＜n·360°+270°(n∈Z),则 是第三象限角. 综合①,②可知， 是第一或第三象限角. （2） ·360°+30°＜ ＜ ·360°+60°,k∈Z. ①当k=3n,n∈Z时,n·360°+30°＜ ＜n·360°+60°,n∈Z, 则 是第一象限角; ②当k=3n+1,n∈Z时，n·360°+150°＜ ＜n·360°+180°,n∈Z, 则 是第二象限角； ③当k=3n+2,n∈Z时，n·360°+270°＜ ＜n·360°+300°,n∈Z,则 是第四象限角. 综合①，②，③可知， 是第一、第二或第四象限的角. （3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z. 故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的非负半轴上. 学后反思 知道α所在的象限， …所在的象限也可由象限等分法得到.下面以 为例说明， 如图所示：将每一个象限二等分（若是 则三等分，…），从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4，若α是第一象限角，则 在标有数字1的区域内，若α是第二象限角，则 在标有数字2的区域内，依次类推，则很容易确定 所在的象限. 举一反三 1. 若α=60°+k·360°(k∈Z),则 为第象限角. 解析: =30°+k·180°(k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时， 为第一象限的角； 当k=2n+1(n∈Z)时， 为第三象限的角. 答案: 一或三 题型二 扇形弧长、面积公式应用 【例2】 一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题. 解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积为 当r=5时，l=10，α=2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25 cm2. 故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm2. 学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用均值不等式求最值. 举一反三 2. 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为