第五章弹塑性力学问题的提法分析.pptVIP

第五章 弹塑性力学问题的提法 目 录 5.1 基本方程 5.1 基本方程 5.1 基本方程 5.1 基本方程 5.1 基本方程 5.2 问题的提法 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle) 5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle) 5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle) 1. 迭加原理: 弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时对应解的和. 5.6 塑性力学问题的提法 5.7 简 例 * 5.1 基本方程 5.2 问题的提法 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.4 圣维南原理 5.5 叠加原理 5.6 塑性力学问题的提法 5.7 简例 1. 平衡方程 张量形式为: 2. 几何方程 张量形式为: 3. 本构方程 张量形式为: 弹性阶段： 或 3. 本构方程 增量理论： 塑性阶段，应力满足屈服函数 f (σij) =0 的条件下： 张量形式为: 全量理论： 张量形式为: 4. 边界条件 张量形式为: 应力边界（Sσ上）: 位移边界（Su上）: 张量形式为: 当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有 3 个平衡微分方程，6 个几何方程和 6 个本构方程，共计 15 个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有：σij、 εij 、ui 15个基本未知函数。因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。 弹性力学的解不仅存在，而且在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。 弹塑性力学的基本解法 1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。 2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。 3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法叫混合法。 在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即： 第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。 第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。 第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。 三类边值问题 1．位移法： 本构方程 平衡方程 2．应力法： 利用应力表示的本构方程、平衡方程结合应力表示的应变协调方程和边界条件求解。 协调方程： 3．逆解法与半逆解法： 上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解题方法中经常采用如下方法： （1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。 （2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。 问题的提出： (1) 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 (2) 如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。 P P P P 原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P P P/2 P/2 (1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。 注意事项： (1) 必须满足静力等效条件； (2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。 如： A B 主要边界 P 次要边界 5.5 叠加原理 (1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的. 说明: (2) 对大变形问题, 几何方程将出现二次非线性项, 平衡方程将受到变形的影响, 迭加原理不再适用。 (3) 对非线弹性或弹塑性材料, 应力应变关系为非线性, 迭加原理不成立。 与弹性力学边值问题相