第一章微分方程基础分析.ppt

高等数学 第一章 微分方程 本章主要内容 内容小结 例5 一物体在空中下落，所受空气阻力与速度成正比，当时间t=0时，物体的速度为零，求该物体下落的速度与时间的函数关系. 定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程 1.4 二阶常系数线性微分方程 定义1、对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C，使y2=Cy1，则称函数y2与y1线性相关；否则，称函数y2与y1线性无关. 解 设物体下落的速度为v(t).同时受到重力P与阻力R的作用 物体所受的合外力为 F = mg – kv. 根据牛顿第二定律F=ma, 得到v（t）应满足方程 正弦函数 趋于零 1.3可降阶的高阶微分方程 2. 型的微分方程 (不显含y的微分方程) 解法： 代入原方程, 得 通解 解 3. 型的微分方程 (不显含x的微分方程) 1.4 二阶常系数线性微分方程 1. 线性微分方程解的结构 2. 二阶常系数齐次线性方程 3. 二阶常系数非齐次线性方程 1. 线性微分方程解的结构 定义2 (1) 定理1 如果函数y1，y2都是方程(2)的解，则y=C1y1+C2y也是 方程(2)的解，其中C1，C2 是任意常数. 证 将y=C1y1+C2y2代入(2)式左边，得 定理1表明，齐次线性方程的解具有叠加性.根据定理1，可由方程(2)的两个解，构造出任意多个解. 0 0 定理2（二阶齐次线性微分方程解的结构定理）如果函数 都是方程(2)的两个线性无关的特解，则 是方程(2)的通解，其中 是任意常数. 定理3 （二阶非齐次线性微分方程解的结构定理） 设y*是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解， Y是它对应的齐次方程(2)的通解， 则y=Y+y* 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。 0 f (x) 2. 二阶常系数齐次线性方程 在二阶常系数齐次线性方程 （1）有两个不相等的实根: (2) 有两个相等的实根: (3) 有一对共轭复根： 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出微分方程相应的特征方程; （2）求出特征方程的特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) A 3. 二阶常系数非齐次线性方程 §1.1 微分方程的概念 §1.2 一阶线性微分方程 §1.3 可降阶的高阶微分方程 §1.4 二阶常系数线性微分方程 §1.5 微分方程在实际中的应用举例 其中曲线过（2,1）点 积分 1.1 微分方程的基本概念 代入条件后知 故 定义、把含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程 例如 定义 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶. 一般地，n阶微分方程的形式是 其中 中的某些变量可以不出现. 定义 如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的解. 例如 定义 如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解. 例如 定义、如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解是微分方程的某一个特定条件下的解，简称为特解. 例如 用来确定任意常数的条件叫做初始条件. 求微分方程的解的过程叫做解微分方程. 注意 如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微分方程就是求微分方程的通解. 解 (1)微分方程的定义 (2)微分方程的求解 很明显，直接积分法是行不通的.将方程写成形式 1.2 一阶线性微分方程的微分方程 可分离变量的微分方程 想一想、函数y=0是本题中微分方程的解吗？如果是，它是否包含在上述通解中？ 定义 特点：所含未知函数和未知函数的导数都是一次的. 一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程 是 否 1.2.2一阶齐次线性微分方程 一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法) 齐次方程的通解为 2. 线性非齐次方程 积分得 （常数变易法） 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 常数变易法求解一阶非齐次线性方程的步骤： 例4 已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律. 解 设这种放射性元素的衰变规律是Q=Q(t). 依题意，有 分离变量，得 两端积分，得 将初始条件 代入上述通解中，得