计算方法1_误差分解.ppt

1.1 误差的来源 1.1.1 舍入误差(Round-off Errors) 1.2 误差 误差限 有效数字 1.3 相对误差和绝对误差 [例1.5]测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 1.5 在近似计算中需要注意的问题 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数 例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为 若采用递推算法, 则乘法次数仅为n. 又如 2.防止大数“吃掉”小数 当|a||b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则 108+0.04=108 3.尽量避免相近数相减 例如，当x很大时，应 4.避免绝对值很小的数做分母 当|b||a|时，应尽量避免a/b * * 误差分析 Error Analysis 误差的来源 误差 误差限 有效数字 相对误差和绝对误差 误差的传播 在近似计算中需要注意的问题 目次 模型误差 观测误差 舍入误差 截断误差 计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。 例如：在10位十进制数限制下： 1÷3＝0.3333333333 本应1÷3＝0.3333333333…… 1.0000022-1.000004=0 本应1.0000022-1.000004 =1.0000040000 04-1.000004 =0.0000000000 04 舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。 1.1.2 截断误差(Truncation Error ) 用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。 例如： 泰勒级数 ? 零阶近似 : ? 一阶近似 : ? 二阶近似 : 完全的泰勒级数: 余项 (n阶近似) : ? : 介于 xi and xi+1 ?x = xi+1- xi ? 余项： Taylor 级数表示为: 截去的部分 ? ? 零阶近似 : 截断误差 : ? 一阶近似 Rn : 零阶近似 Rn : 斜率 : ? [Def1.1]若用x*表示x准确值的一个近似值。则此近似值x*和准确值x的差称为误差，用e*来表示 e*＝x*－x [Def1.2]若 |e*|＝|x*－x|≤ε* ε*称为近似值x*的误差限。 [例1.2]已知x*=π=3.14159…，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的误差限。 [解] 所以误差限 ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008 有效数字 [Def1.3]若用x的近似值x*的误差限是某一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字 若用x*表示x的近似值，并将x*表示成 x*＝±0.a1a2…an×10m 若 |x*－x|≤0.5×10m－n 则近似值x*有n位有效数字 (1.1) [例1.3] 设x*=0.0270是某数x经“四舍五入”所得，则误差|e(x*)|不超过x*末位的半个单位，即： |x*－x|≤0.5×10 -4 又 x*=0.27×10-1 ,故该不等式又可写为 |x*－x|≤0.5×10 -1-3 由有效数字定义可知, x*有3位有效数字,分别是2,7，0。 [例1.4] 设x＝32.93,x*＝32.89, 则 |x*－x|＝0.04＜0.05＝0.5×10-1 即 |x*－x|≤0.5×102-3 由有效数字定义可知, x*有3位有效数字,分别是3,2,8。 由于x*中的数字9不是有效数字，故x*不是有效数。 设 x——准确值 x* ——近似值 称 为近似值x* 的相对误差 实用中，常用 表示近似值x* 的相对误差，称 为相对误差限 相应的，e*称为绝对误差，ε称为绝对误差限 有效数位与误差的关系 有效数位n越多，则绝对误差|e*|越小 形如(1.1)式的近似数x*具有n位有效数字，则其相对误差限可取为 基本算术运算 设x*和y*分别是x和y的近似值，把它们的误差近似地看做是相应地微分，即 dx≈ x*－x， dy≈ y*－y 则 d（x±y）＝dx ± dy d（xy）＝xdy ± ydx d（x/y）＝（－xdy＋ydx ）/y2 1.4 误差传播 (1.3)和(1.4)给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。 一元函数 设y＝f(x)，若x的近似值是x*，用f(x*) 去近似f(x)的误差可