第45章连续系统数字仿真数值积分法.ppt

第4章 连续系统的数字仿真-数值积分法 第3章从仿真原理方面讨论了连续系统的仿真方法。本章将从构造积分器的角度再对仿真方法做进一步的讨论。 4．1 欧拉法 数值积分法是把微分方程化成积分运算，再进一步化成代数运算的过程，主要解决如何构造一个积分器，然后求出积分器的差分方程的问题。有了积分器就能很容易地对系统进行仿真。 数值积分法最初是从数值计算的角度得到的。但是为了和第3章所讨论的方法统一起来，我们用插入离散-再现环节的方法，以状态空间描述为基础，推出线性系统数值积分法的仿真模型。 假设线性系统的状态空间描述为 式中：X为n×1维状态向量；U为r×l维输入向量；A为n×n维系统矩阵；B为n×r维输入矩阵；Y为m×1维输出向量；C为m×n维输出矩阵；D为m×r维传递矩阵。 (4-3) (4-4) (4-5) (4-6) (4-7) 简记为： X(k+1)= X(k)+Te(k) (4-8) 式(4-8)被称为欧拉公式。欧拉公式可以从 图4．2的几何图形中得到解释。 有了式(4-8)，就很容易求出系统式(4-1)、式(4-2)的差分方程 X(k+1)= (I+AT)X(k)+TBU(k) (4-9) Y(k+1)= CX(k+1)+DU(k+1) (4-10) 4．2 梯形法 为了提高仿真精度，离散-再现环节采取图4．3的形式。 (4-12) 式(4-12)称为梯形公式，其几何解释如图4．4所示。 [例4．1] 已知一多变量系统的结构框图如图4．5所示，请用梯形公式对此系统进行仿真，并输出y1、y2的仿真结果。 计算步距及仿真时间的估算: 4.3 龙格-库塔(Runge-Kutta)法 在非实时仿真中，有时需要更高的精度。4．3节和4．4节中将再介绍两种更精确的方法及其离散-再现环节。 对于图4．1所示的系统，取如图4．7所示的离散-再现环节 式(4-30)是四阶龙格-库塔公式在输入为阶跃或斜坡函数时的总体表示。仿真前，先求出方程的系数，仿真时就只有简单的代数运算了，这样仿真的速度要比用分离公式的速度快。 非常有趣的是式(4-30)与式(3-51)完全相同。由此说明，当系统的输入为阶跃或斜坡函数时，四阶龙格-库塔公式即是把离散-再现环节加在系统的入口处，使用三角保持器，取eAt的定义式到t的4次项所得到的差分方程。由此可见，使用三角保持器比使用四阶龙格-库塔公式要精确。同理也可证明，取eAt的定义式到t的2次项，所得到的差分方程即是梯形公式，取eAt的定义式到t的1次项，所得到的差分方程即是欧拉公式。 4．4 阿达姆斯(Adams)法 阿达姆斯方法是线性多步法，在计算X(k+1)时，需要知道该时刻以前几步的结果。相比之下，欧拉法、梯形法、龙格-库塔法都是单步法。 对于图4．1所示的线性定常系统，取图4．8所示的离散-再现环节 四阶阿达姆斯法和四阶龙格-库塔法均有四阶精度。但是用阿达姆斯公式时，第一步计算需要知道x(0)、x(-1)、x(-2)、x(-3)各个时刻的值。在初始条件不为零的情况下，x(-1)、x(-2)、x(-3)应该用其他方法求出，所以使用起来不太方便。但是，对于热工系统的仿真，一般是零初始条件，所以这种方法还是实用的。 [例4．2] 已知一主汽压力系统，其框图如图4．9所示，试用四阶龙格-库塔公式，四阶阿达姆斯公式对此系统进行仿真，输出Pt的仿真结果(对系统做定压扰动，扰动量为1，系统的初始条件为零)。 4．5非线性系统数值积分法 假设非线性系统的状态空间描述为 (4-37) 式(4-37)的离散相似系统框图如图4．12所示。 [例4．3] 某随动系统简化整理后的框图如图4．13