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第8章系统抽样白底
第八章 系统抽样 本章要点 本章将对系统抽样这种具有简便易行、样本分布均匀、估计效率较高等多方面优点的抽样组织方式进行介绍,以便在实践中灵活加以应用。具体要求: ①正确理解系统抽样的基本思想和方式; ②掌握系统抽样的估计量及其性质; ③熟知系统抽样估计量方差的样本估计方式; ④对系统抽样的相关问题有所了解。 第一节 抽样方式 一、系统抽样的基本思想 对于一个容量为N的总体,首先,将总体中各单位按某种顺序编为从1到A 的号码。若要从中抽出一个容量为n的样本,则应先从编号为1到k(kN)的k个单位中,随机地抽取一个单位,然后,按照一定的规律,如每隔k个单位抽出一个单位等,顺次地抽出n个样本单位。 二、系统抽样的基本方式 系统抽样与其他抽样方法所不同的一个最显著的特点,就是系统抽样只需要抽取一个样本单位,然后按照某种规律,顺次地得到整个样本。这里所提到的“某种规律”,就是指样本单位抽取的一种事先的规定和安排。在此基础上,系统抽样又可以划分为若干种具体的系统抽样方法。其中,线性系统抽样是一种最基本的方法 。 (一)线性系统抽样 即对于一个容量为A的总体,欲从中抽出一个容量为n的样本。首先将总体各单位按任意的顺序排列并编号,然后计算一个正整数 k=N/n (这里假定A是a的整数倍,称k 为抽样距离),将总体分为n段,每段包含k 个总体单位。再从第一段的k个单位中,随机抽出一个单位,假设其编号为第r号,然后每隔k个单位抽出一个单位,即编号为r+k, r+2k, …, r+(n-1)k单位皆被抽中。 线性系统抽样法的抽样模型为: r + (j-1)k (j = 1,2,…,n; r为随机数) 三、总体单位排序与系统抽样的关系 (一)总体单位随机排序 对于总体各单位的某一种特定的排列顺序,线性系统抽样的效果可能优于简单随机抽样,也可能劣于简单随机抽样,无法预言。但从一个容量为N的总体来讲,就其全部总体单位所有的N!种排列顺序而言,线性系统抽样的平均估值精度等于简单随机抽样估值的精度。因此,在这种情况下,线性系统抽样的估计效率与简单随机抽样估计效率相同。在抽样实践中,总体各单位按随机顺序排列下的线性系统抽样,称为无关标志排队等距抽样。 (二)总体单位排序与其标志值的大小有某种周期性的关系 当总体各单位的排列顺序与其标志值的大小有某种周期性的关系时,就有可能出现样本各单位的标志值都是一个相同数字的情况。在这种情况下,系统样本对总体完全没有代表性。为了防止出现这种情况,在采用线性系统抽样时,应注意避免抽样的规律与现象变动的周期相一致。 (三)总体单位排序有线性趋势 当总体各单位与其排列顺序有某种线性趋势关系时,对于一般的系统抽样法(即线性系统抽样法)来讲,可以证明:其抽样估值精度虽优于简单随机抽样,但劣于分层随机抽样。其原因在于对有线性趋势的总体,采用线性系统抽样法,可能会使所抽样本产生一种“趋向性”的偏差。统计学家们发现:在总体呈现这种“线性趋势”或“单调上升或下降趋势”时,采用中心位置的系统抽样法或对称的系统抽样法,可以大大地改善系统抽样法的估值精度。 (四)总体各单位按某种“负相关”的趋势排列 这里又分为两种情况:一种是总体各单位的标志值奇数层顺排列而偶数层反排列;另一种是总体中上一半单位的标志值顺排列而下一半单位的标志值反排列。实际上,在这种负相关趋势排列的情况下,线性系统抽样法的估值精度最高。后面我们将说明:对于这种负相关趋势采用线性系统抽样法与对线性趋势总体采用对称系统抽样法的效果完全相同。因此,对线性趋势总体下的系统抽样或称为有序排列下的系统抽样的研究是十分重要的。 第二节 等概率系统抽样的估计量及其方差 第三节 估计量方差的样本估计 第四节 进一步探讨的问题 §2 等概率系统抽样估计量 假设 N = nk,这时抽样是一种严格意义上的概率抽样。 一、符号说明 第r行第j列单元指标值:Yrj = Y(j-1)k+r 系统样本平均数: 系统样本均值估计量: 层均值: 总体方差: 系统样本(群)内方差: 样本(群)内相关系数: 层内方差: 同一系统内对层均值离差的相关系数: 从平均意义上讲,无序等距抽样类似于简单随机抽样,故估计量的方差为: 其中样本方差 为: 一、纯随机抽样估计法 关于在“有关标志排队”或总体各单位有序排列的条件下,有些意见认为,这种抽样方式结合了等距抽样和分层抽样的优点,可将其视为一种特殊的、层分得更细的且各层只抽取一个样本
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