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第三章导数及其应用33导数的实际应用
重点难点 重点:利用导数解决实际问题中的优化问题 难点:如何建立数学模型,借助导数求最值 知识归纳 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值. 误区警示 (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)生活中,经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间. 某工厂设计一个密闭容器,下部是圆柱体形,上部是半球形,容积为常数V,当圆柱的底半径r与高h为何值时,制造这个容器的用料最省? [例2] 某集团为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5) (1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大? 解析:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4 (0≤t≤3), ∴当t=2百万元时,f(t)取得最大值4百万元.即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大. 故g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数. 所以当x=2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大. [例3] 如图所示,有一块半椭圆形钢板,长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S关于自变量x的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值. 已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则矩形的面积最大时,矩形的边长为________. [例4] 苏南某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注.据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出: 分析:如图,设BC为海岸线,A为渔艇停泊处,设D为海岸线上一点,CD=x,只需将时间T表示为x的函数,即可确定登岸的位置. [答案] C [答案] C (理)(2010·山东济南市模考)直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为( ) A.-3 B.9 C.-15 D.-7 [答案] C [解析] 将点(2,3)分别代入曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3. 又k=y′|x=2=(3x2-3)|x=2=9, ∴b=3-2k=3-18=-15,故选C. [答案] B 二、填空题 4.某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其它三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆料场的长、宽应分别为________. [答案] 16m 8m 5.(文)在周长为l的矩形中,面积的最大值为________. (理)面积为S的矩形中,其周长最小的矩形边长是______. 三、解答题 6.已知某厂生产x件产品的成本为c=25000+200x+x2(元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? 当在x=1000附近左侧时,y′0; 在x=1000附近右侧时,y′0; 故当x=1000时,y取得极小值. 由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1000件产品. 由于函数只有一个使L′=0的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品. 2.某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,要使利润最大每件定价为________元. [答案] 85 3.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f ′(n)的最小值是______. [答案] -13 [分析] 由f(x)在x=2处取得极
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