第三讲离散时间系统.ppt

则系统的输出为 由于系统是线性的， 可利用叠加原理， 则 又由于系统的时不变性，对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。 因此 上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。 图 1-16 线性时不变系统 图 1-17 离散卷积 图 1-17 离散卷积 （1） 翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。  （2） 移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时， 右移n位; 当n为负整数时，左移n位。  （3） 相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。 （4） 相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得y(n)值。 依上法，取n=…, -2, -1, 0, 1, 2, …各值，即可得全部y(n)值。 由卷积公式不难看出，卷积与两序列的先后次序无关。 证 令n-m=m′代入下式， 然后再将m′换成m， 即得 因此 1.3.4 线性时不变系统的性质 1． 交换律 由于卷积与两卷积序列的次序无关， 即卷积服从交换律， 故 这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。 2． 结合律 可以证明卷积运算服从结合律，即 这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图1-18所示。 图 1-18 具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统 3． 分配律 卷积也服从加法分配律： 也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和, 如图1-19所示。  * 第1章 离散时间信号与系统 1.2 连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析 1.4 常系数差分方程 第三讲 离散时间系统 采样器可以看成是一个电子开关,设开关每隔T秒短暂地闭合一次，一般开关闭合时间都是很短的，每次闭合的时间为τ秒,而且τ越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当τT时，采样脉冲就接近于δ函数性质。 1.2.1 理想采样 理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。 1.2.2 理想采样信号的频谱 时域相乘， 则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。 若各个信号的傅里叶变换分别表示为: 原始模拟信号频谱 抽样脉冲信号频谱 已抽样信号频谱 则应满足 　　由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即 此级数的基频为采样频率，即: 一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f及Ω来识别。 根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得 以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n≠0 都在积分区间之外，且利用了以下关系: 因而 由此得出 由于 所以 根据冲激函数的性质，可得 或者 由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓。 　　也就是说，理想采样信号的频谱， 是Xa(jΩ)的周期延拓函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。 　　 　　也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图1-10（a）所示，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2，即 　那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。 这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。 如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象． 我们将采