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第三章导数及其应用34定积分与微积分基本定理理
重点难点 重点:了解定积分的概念,能用定义法求简单的定积分,用微积分基本定理求简单的定积分. 难点:用定义求定积分 知识归纳 1.定积分的定义 1.(1)用定义求定积分的方法:分割、近似代替、求和、取极限,可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例,体会定积分的基本思想方法. (2)用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x). (3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分. (4)利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限. 3.主要思维方式 (1)数形结合思想:求曲线围成图形的面积,要画出草图,寻找积分上限和积分下限,以及被积函数的形式. (2)极限的思想:用定义求定积分,实际上运用的是极限的思想. (3)以直代曲的思想:求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和,求极限时,用到以直代曲的思想. (4)公式法:套用公式求定积分,避免繁琐的运算,是求定积分常用的方法. (5)定义法:用定义求定积分是最基本的求定积分方法. [例1] 用定积分的定义求由y=3x,x=0,x=1,y=0 [点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤. 你能利用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积吗? 答案:A 答案:D [例4] 如下图,直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积为________. 分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,因而可以用定积分求出面积.为了确定出积分的上、下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标. 点评:利用定积分求平面图形的面积时,关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差,还要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方,以确定积分的正负. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当x=0时,f(x)min=-4; 当x=±1时,f(x)max=2. 分析:设出切点A的坐标,利用导数的几何意义,写出切线方程,然后利用定积分求出所围成平面图形的面积,从而确定切点A的坐标. 答案:(1)A(1,1) (2)y=2x-1 [答案] B [答案] D [答案] C [答案] B [答案] 12 [答案] 3 * * * * * *
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