2011微观第2章讲稿23.ppt

周期长度 （原胞参数）变大 a ? 2a 布里渊区变小 π/a ?π/2a 原胞数变少 N ? N/2 原来的一条能带变成两条 能带内的能级数变成N/2 原来的半满状态变成全满 发生 金属 ? 绝缘体 转变 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分成两大类： * 紧束缚近似 * 近自由电子近似 近自由电子观点 紧束缚观点 紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子 一样紧紧束缚在该原子周围 * 孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相互作用，孤立原子能级从而扩展成能带 ? 由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很 小的相互作用 * 因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用 空晶格的零级解 非简并情况?远离布里渊区 能量修正 检查是否满足bloch定理 简并情况?能隙 近自由电子近似----平面波方法 平面波的思想 Schroedinger方程 写成矩阵形式 方程有非平凡解得条件是其系数行列式为零 上面讲的空晶格模型+微扰法就是二阶平面波的示例 平面波方法的特点 平面波方法的困难 近自由电子近似小结 2.4 紧束缚近似 1、Wannier函数 Wannier函数性质：正交归一 2、紧束缚近似的物理图象 ? 近自由电子近似回顾 * 自由电子在晶体势场中受散射 * 原连续的能带E(k)，在Brillouin区边界产生能隙 ? 换幅图象：原子处在一个晶格常数很大的结构 * 孤立原子构成的晶体，电子束缚在孤立原子周围 * 整个N个孤立原子的系统是一个N重简并的系统 ? 减小晶格常数至实际数值 * 孤立原子不再孤立，波函数会发生交迭，相互作用 * N重简并的孤立原子能级会消除简并，展宽成能带 ? 显然，这也可以看作是简并微扰 紧束缚近似中的微扰 ? 零级近似——N重简并的孤立原子解 * 假定原胞内只有一个原子，每个格点都有相同的孤 立原子的解 * 都有相同的本征能量，即N重简并能级 * 都有相同的波函数，但束缚在各自格点上 ? 微扰——把孤立原子势看作零级近似 * 而晶体势减去孤立原子势看作微扰 * N个简并原子波函数的线性组合构成晶体波函数 ? 注意：自由电子的解平面波在整个空间分布 * 现在孤立原子的解是局域的 N重简并解 ? 孤立原子电子波函数满足的Schroedinger方程 微扰势 微扰法框架 3、孤立原子的波函数组成Bloch和 零级波函数线性组合？ 原子波函数的线性组合就是Bloch和形式 * 它的物理意义就是微扰的零级波函数的组合 s电子紧束缚能带 紧束缚近似与近自由电子近似的比较 ? 自由电子近似 ? 在布里渊区边界附近，简并打开形成的是禁带！ * 因为只有满足布里渊区边界反射条件的电子波长 (对应特定的能量)的电子不允许存在?能隙 ? 紧束缚近似 ?孤立原子靠近，其简并能级展宽形成的是能带！ * 两个具有相同能级(简并)的原子相互靠近，相互作用后分裂成比原能级低的成键态和比原能级高的反键态；但原子越远，这种作用就越弱，分裂就越小；很多原子形成晶体，导致原简并能级? 能带 ? 近自由电子近似的数学 * Bloch定理推论一，Bloch函数是周期性调幅平面波 * 调幅函数既然是实空间的周期函数，在倒空间展开 这样Bloch函数成（平面波——近自由电子方法） ? 近自由电子近似的物理 * 对V≠0，逐步加入微扰 * 对K求和，K由小到大，取遍使V(K)≠0的平面波 * Bloch定理推论二，Bloch函数也是倒空间周期函数 * 也可以在实空间作傅立叶展开 ? 紧束缚近似的数学 ? 紧束缚近似的物理 * 零级近似：将每个原子看作与周围原子无相互作用，其解是N个孤立原子的N重简并的解，孤立原子的分裂能级即成分裂的N重简并能级 * 微扰法：N重孤立原子的简并解线性组合?N重简并 能级在简并微扰作用下打开，形成能带 * 近自由电子近似?能隙宽度=2|V(K)|；能带宽度？ Bloch函数也是k空间的周期函数，因此也可以在实空间作Fourier展开 w(r,R)是展开系数，称为Wannier函数，是以R 为中心的局域函数。 展开系数 称为Bloch和 即局域于不同格点不同能带的Wannier函数是 正交归一的 ? 对位于R的任一原胞的孤立原子，都有 ? 如晶体有N个原胞，整个系统就是N重简并的 * N重简并能级E原子 ? 显然，如果晶格常数减小至实际值 * N重简并能级将消除 ? 对晶体的Schroedinger方程 ? 把晶体势与某一原子势的差看作微扰 ? 改写晶体势为原子势的组合减去原子势， 对晶体电子来说 简并微扰：引入微扰后得到的晶体电子的状态应是零级近似的N个简并态的线性组合 ? 剩下的问题是如何将孤立原子波函数