竞赛物理第三次作业.ppt

第三次竞赛物理分析讲解内容 ——简谐振动的动力学特征构建分析 讲述人——黄军 2013年10月24日 * 根据简谐振动的定义，简谐振动的运动学方程与加速度为： 简谐振动的动力学特征为： 弹簧振子类简谐振动圆频率： * 一、 圆柱体浮标的小运动。某种海上浮标由一个轻质实心圆柱体和一根刚性匀质细杆连接而成。圆柱体的半径为α，长度为ι，质量均匀分布，密度为ρ。细杆的质量等于圆柱体的质量，长度等于圆柱体的直径，密度远大于海水的密度（海水密度记为ρ0），设浮标处于如图所示平衡位置。 （1）试导出图中θ角与 之间的关系。设细杆体积很小，忽略不计。 （2）若浮标因受到某种干扰而竖直下压了一个小量，从而在其平衡位置附近上下振动，如图所示。试确定这种竖直方向振动的角频率，结果用α、g和θ表达（其中g为重力加速度）。 * 题意分析： 浮标的上下振动的动力学特征取决于浮标的受力情况，因此要对浮标进行振动的动力学特征描述。 * 解： （1）由题意可知，浮标总质量（圆柱体和细杆）为： 浮标排开水的体积为： 式中0＜θ＜π 漂浮时，浮标重力等于水的浮力，即： * 化简后得： * （2）取水面为竖直向上z轴的坐标原点，平衡时水平面与过柱中心直径交点为代表点，浮标上下振动时，用此代表点的坐标描述。 当z 为正时，θ角减小，浮力为： 当浮标上下振动时，θ发生变化，由几何关系，可得代表点的坐标z为： * 当z为正时，则重力和浮力的合力为： 略去二级小量，化简后得合力为： 又由 可知合力F是一个与z方向相反，大小成正比的线性回复力 （称准弹簧力）。 * 得浮标的动力学方程为： 振动角频率为： 代入（1）中结论，得： * 二、 如图所示，劲度系数为K的轻弹簧竖直悬挂，下端与一质量为M的圆柱体（不能转动）相连，不可伸长的细绳跨过圆柱体，两端分别系有质量为m1、m2的重物。细绳与圆柱体之间的摩擦力可忽略不计。试求当两重物同时运动时，圆柱体的振动周期。 M m1 m2 * M m1 m2 题意分析： 圆柱体和它两边的重物m1、m2的运动是相关联的， 由运动学关系和牛顿第二定律，找出圆柱体运动中的动力学特征或运动学特征， 判断其是否满足简谐振动，进而求解出振动周期 * 解：取弹簧原长时圆柱体的中心位置为坐标原点，竖直向下为χ轴的正方向。当圆柱体的中心坐标位置为χ时，由牛顿第二定律，对圆柱体有： 为此刻圆柱体的加速度，设此刻m1相对于圆柱体的加速度为 ，则m2相对于圆柱体的加速度为 ，故此刻m1、m2的加速度分别为： 由牛顿第二定律，对m1、m2有： ① ② ③ ④ ⑤ * ⑥ 由②~⑤式解得： ⑥式代入①式中得： ⑦ 整理⑦式得： 可得圆柱体加速度为： ⑧ * 则⑧式变为： 由此可见，对于 来说，圆柱体做简谐振动，则可得： * M、m1、m2三者组成的系统，可等效为一个总质量为 的物体。由此将 称为系统的等效质量。 故整个运动系统，相当于一个劲度系数为k、质量为 的弹簧振子的简谐振动。 小结讨论： *