建筑力学第九章答案.ppt

第九章 应力状态分析 第一节 一点处得应力状态 第二节 平面应力状态分析 第三节 应力圆及其应用 第四节 三向应力状态分析简介 第五节 广义胡克定律 第六节 应变能喝应变能密度 总结与讨论 习题 9.1 一点处得应力状态 受力杆件中的任一点，可以看作是横截面上的点，也可看作是斜截面或纵截面上的点。一般来说，受力杆件中任一点处各个不同方位截面（方向面）上的应力情况是不相同的。构件内某点的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。 对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点截取一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六面体称为微单元体，简称为微元。 一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及他们的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。 9.1 一点处得应力状态 从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体，如图9-1（a）所示的拉杆，围绕其上任一点A，用上述方法截取原始单元体如图9-1（b）所示，该单元体各面上的应力是已知的，其左右侧面上的应力即是杆件相应横截面上该点的应力，在该单元体的上下、前后侧面上均无应力。 对于至少有一对平行平面上无应力的单元体，为了简便，可用平面图形表示，如图9-1（c）所示。根据A点的原始单元体，即可求得该点处任意斜截面上的应力，该点应力状态便已知。 9.1 一点处得应力状态 例9-1 在同时受拉伸和扭转的杆件上，点A为杆件外表面上的点，点B为杆轴线上的一点，如图9-2（a）所示，试确定A、B两点的应力状态。 解：围绕A点用一对横截面及两对与之垂直的纵截面截取该点的原始单元体如图9-2（b）所示。在力F作用下，单元体左右侧面上产生正应力，其值为。在力偶T的作用下，单元体左右侧面上产生切应力，其值为，上下面上的切应力可由切应力互等定理来确定，即前后面上均无应力，将相应的应力分量画在单元体的各面上，结果如图9-2（b）所示（点A处这种应力状态称为纯切应力状态）。 围绕B点用同样的方法截取原始单元体如图9-2（c）所示。在力F作用下单元体左右侧面上产生正应力，其值为，由于圆轴扭转时，横截面圆心处的切应力为零，故上下和左右面上的切应力均等于零，而前后面上均无应力，结果如图9-2（c）所示。 单元体上切应力为零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，各个面上均无切应力的单元体称为主单元体。 9.1 一点处得应力状态 可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。一点处的三个主应力分别用s 1，s 2和s 3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即s 1≥s 2≥s 3。例如某点处的三个主应力为50 MPa、-80 MPa和0 MPa，则s 1 =50 MPa、s 2=0 MPa、s 3 = -80 MPa。 在轴向拉伸（或压缩）时，三个主应力中只有一个不等于零，这种应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零时，称为二向应力状态。当三个主应力都不为零时，则称为三向应力状态（如图9-3所示）。 9.2 平面应力状态分析 9.2.1 任意方向面上的应力 用截面法截取单元体的一部分作为研究对象，其受力如图9-4b所示。设斜截面的外法线（n轴）与x轴的夹角为（角以从x轴到n轴逆转为正），该斜截面简称为面，设其面积为，其上应力为 、 。由图9-4（b）所示三棱柱体的平衡条件得 由切应力互等定理知，和大小相等，将以上两式整理简化后得 ［9-1（a）］ ［9-1（b）］ 9.2 平面应力状态分析 式［9-1（a）］、［9-1（b）］是计算平面应力状态下任意斜截面上应力的基本公式。应用时要注意应力和方位角的正负号规定。 如果需求与方位角为+90°方向面上的应力，只要将［9-1（a）］式和［9-1（b）］式中的用a+90°代入即可得到。可以证明单元体上任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。 9.2 平面应力状态分析 9.2.2 主应力和主平面 如前所述，在主平面上切应力为零。设主平面的方位角为，将代入式［9-1（b）］，便可由求得主平面的方位角，即 （9-2） 由式（9-2）可得到和的表达式，将其代入式［9-1（a）］便可得到主应力计算公式，即： （9-3） 将由上式求得的两个主应力