建筑力学第十章答案.ppt

第十章弹性杆件的变形和横截面的位移分析 第一节 积分法计算杆件横截面位移 第二节 叠加法计算杆件位移 总结与讨论 习题 第十章弹性杆件的变形和横截面的位移分析 位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。 只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分常数则与约束条件和连续条件有关。 若材料的应力—应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。 10.1 积分法计算杆件横截面位移 10.1.1 微段的变形 对于细长杆件，六个内力分量FNx、My、Mz、Mx、FQy，FQz中，剪力FQy和FQz对变形的影响很小，因而工程中一般不考虑剪力引起的变形。 根据第8章的分析，得到FNx、My、Mz和Mx引起的杆件微段弹性变形分别为 式中，ex为FNx引起的微段的正应变；ρy和ρz分别为My和Mz引起的微段中性面的曲率半径；dφ/dx为引起的微段单位长度上相对扭转角。上述各式中，EA为杆件的拉压刚度；EIy和EIz分别为杆件对形心主轴y和z的弯曲刚度；GIp为杆件的扭转刚度。 10.1 积分法计算杆件横截面位移 如图10-1所示，考虑到 ，由上述公式，得到弹性范围内微段变形的另一种形式表达式 （10-1） （10-2） （10-3） （10-4） 10.1 积分法计算杆件横截面位移 式中，为微段的轴向变形（伸长或缩短），即微段两截面相对轴向位移；和分别为微段两截面绕中性轴y轴和z轴相对转过的角度；为微段两截面绕杆轴线相对转过的角度 10.1 积分法计算杆件横截面位移 10.1.2 杆件的横截面位移 在工程实际中，我们关注杆类构件横截面位移，包括相对位移和绝对位移。对于在空间没有受到约束的杆件，考虑杆件截面相对位移；对于在空间中受到约束的杆件，考虑杆件横截面对于某一固定点的位移。 在小变形情形下，由、、、引起的变形和位移都是相互独立的，因而可以单独加以分析和计算。 对于工程实际中常见的轴心受力、受扭及受弯构件的横截面位移的计算，下文分别进行讨论。 1. 轴心受力杆件的轴向位移计算 可以利用式（10-1）计算轴心受力杆件轴向的位移，根据不同的约束条件，将式（10-1）左右两端取积分，可以求出相对位移或绝对位移。 10.1 积分法计算杆件横截面位移 对于如图10-2所示轴心受力杆，只能求出杆件两端截面受力平衡后的相对位移，一般也称为伸长或缩短，常用表示。 对于如图10-2所示长为的等截面杆，在外力作用下处于弹性平衡状态，则杆件的伸长可以将式（10-1）左右两端积分，并将左端用表示，即得杆件的伸长： （10-5） 对于具体受力形式，上式可以进一步简化，对于如图10-2（a）所示的情形，、为常数，式（10-5）可以简化为 （10-6） 对于如图10-2（b）所示的情形，作用杆上的外集中力将杆件分成段，每一段上、是常数，则对于此种情形，式（10-5）简化为： （10-7） 10.1 积分法计算杆件横截面位移 对于如图10-2（c）所示的情形，作用杆上的外力有分布力系，随截面位置在变化，但是常数，式（10-5）化为： （10-8） 对于更一般的情形，及都随截面位置变化的情形，需要将式（10-5）应换成来求解，即 （10-9） 对于在空间中受到约束的杆件，只有确定了杆件在空间的位置，才能确定杆件横截面的位移。拉（压）杆件横截面的轴向位移可表示为 （10-10） 也可以写成不定积分形式，积分限和积分常数均需由约束条件确定。 10.1 积分法计算杆件横截面位移 例10-1 如图10-3所示自由悬挂的变截面杆是圆锥体。其上下两端的直径分别为和。 试求由载荷引起的轴向变形（不计自重的影响）。设杆长l及弹性模量E均已知。 解：设坐标为x时，横截面的直径为d，则 轴力是常量，即FN(x) =F，由公式（10-7）求得整个杆件的伸长为 10.1 积分法计算杆件横截面位移 2. 圆轴的扭转变形与相对扭转角 对于承受外力偶作用的圆轴的