傅立叶级数超详解详解.ppt

高等数学 附录3 傅立叶级数 或任何 上给出的、且满足Dirichlet条件 的函数 ,也可以将其展为以 为周期的Fourier 级数.步骤如下： 1 将 延拓成在整个数轴有定义的以 为周 期的、且满足Dirichlet条件的函数 ； 4.对于只在长为 的区间 如 ,或 2 求出 的Fourier级数，它在 上的限制就 是 的以 为周期的Fourier级数. 注意: Fourier级数的和函数在 的端点处的值 相等，且 3 实际做展开时,没有必要将 的图形画 出,更没有必要写出 的解析表达式 通常很难 , 这是因为 于是 三、正弦级数与余弦级数 1.奇函数与偶函数的Fourier级数 定理 * * 附录3 傅里叶级数 本节介绍将函数 展为三角级数，即 一、物理背景 1.具有倍频率的简谐振动的叠加 简谐振动是最简单的振动，在适当坐标 系中，可用我们熟悉的正弦函数表示为 设有一系列的简谐振动 序列 1 称为具有倍频率的简谐振动列， 显然第1个简谐振动的周期 是序列 1 的公共周期. 序列 1 中的任意两个简谐振动的叠加， 已不再是简谐振动了.比如两个同振幅、同 初相但不同频率的简谐振动 2.周期振动的分解—谐波分析 采用“逆向思维”，可知我们实际上解决 了上述问题的反问题：将一个周期运动分解 为一系列简谐振动的叠加，从而通过简谐振 动来把握一般的、复杂的周期振动.在物理 学的许多领域 力学、电工、电讯等 正是这 样做的.人们称之为“谐波分析”. 谐振分析，在数学上就是将一个周期函 数展为三角级数.为此，至少要解决下面两 个问题： 二、 Fourier系数与Fourier级数 利用三角函数系的正交性，很容易确定三角 级数 的系数 1.三角函数系的正交性 1 定义5.1 设函数系 在 2 三角函数系 即任意两个不同函数乘积在 上的积分均为0. 此外，还有 2. Fourier系数 两边积分得 注意三角函数系的正交性 两边同乘以 后，积分得 两边同乘以 后，积分得 2. Fourier级数 以 的Fourier系数为系数的三角级数称为 的Fourier级数，记为 由上面的分析可知： 例1 设 所以 注意：以上只是形式地求出了函数的Fourier级 数，至于函数要满足的条件，以及级数的收敛性、 和函数等，均未涉及，故记为 3. Fourier级数收敛的Dirichlet条件 定理 收敛定理， Dirichlet条件 Dirichlet条件，即 1 连续或至多有有限多个第一类间断点； 2 至多只有有限多个极值点； 则 的Fourier级数处处收敛，且和函数为 即 证明从略. 显然这是一个充分性条件，但这也是一个很宽 松的条件，以至于科学和工程技术中出现的函数 大都能够满足. 例2 求例1中Fourier级数的和函数 解 由收敛定理，得 并画出和函数的图形. 若令 ，得