菲涅耳衍射仿真解析.docx

平行光入射情况下圆孔和圆屏的菲涅耳衍射图样仿真摘要：在平行光入射情况下，利用Matlab编程仿真不同尺寸的圆孔和圆屏的菲涅耳衍射图样，并验证巴比涅原理。关键词：菲涅耳衍射巴比涅原理matlab仿真引言菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观察的衍射现象。此时直接运用公式定量计算菲涅耳衍射，数学处理十分复杂。因此，为研究菲涅耳衍射现象，可采用matlab仿真的方式。1 菲涅耳衍射原理1.1 基尔霍夫衍射公式最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他用光的干涉理论对惠更斯原理加以补充，并予以发展，从而相当完善地解释了光的衍射现象。基尔霍夫的研究弥补了菲涅耳理论的不足，他从微分波动方程出发，利用数学场论中的格林定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅耳原理较完善的数学表达式，建立了光的衍射理论。其中，、分别是、与之间的夹角。1.2 菲涅耳近似如图所示，孔径平面和观察平面分别取直角坐标系x1,y1和x,y,则由几何关系有对该式作二项式展开，有r=z1+12z1x-x12+y-y12-18z13x-x12+y-y122+⋯当z1大到使得上式第三项引起的相位变化远远小于π时，即kx-x12+y-y1228z13≪π上面第三项以及以后的各项都可略去，简化为r=z1+12z1x-x12+y-y12=z1+x2+y22z1-xx1+yy1z1+x12+y122z1这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。 在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅为Ex,y=expikz1iλz1E(x1,y1)exp⁡{ik2z1[x-x12+y-y12]}dx1dy1 令h(x,y)=expik2z1x2+y2C=expikz1iλz1 则Ex,y=CEx1,y1*h(x,y)1.3 衍射的巴比涅原理巴比涅原理描述的是两个互补屏的衍射场之间的关系。它可以由基尔霍夫衍射公式直接导出。若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，这样的一对衍射屏称为互补屏。设E1P和E2P分别表示1和2单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上P点的光场复振幅，E0P表示无衍射屏时P点的光场复振幅，根据惠更斯-菲涅耳原理，E1P和E2P可表示成对1和2开孔部分的积分，而两个屏的开孔部分加起来就相当于屏不存在，因此E0P=E1P+E2P 该式说明，互补屏在衍射某点产生的复振幅之和等于光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。2 matlab仿真程序设计2.1 菲涅耳衍射的实现在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅可表示为Ex,y=CEx1,y1*h(x,y)其中h(x,y)=expik2z1x2+y2C=expikz1iλz1 因此，在matlab中可以使用函数conv2实现菲涅耳衍射。需要注意的是hx,y存在于整个空间中,matlab自然无法实现，但可选取有限的hx,y,使在Ex1,y1上的每一点的响应h(x,y)完全覆盖观察屏，即可达到相同效果。2.2 衍射屏的实现在matlab，衍射屏与观察屏可以用一个二维矩阵表示。因为使用平行光入射,所以通光处光场复振幅相同；不通光处，复振幅为0。因此一个简单的圆孔衍射屏可以用以下矩阵表示0000000100011100010000000而其互补屏则可用以下矩阵表示11111110111000111011111112.3 参数选择2.3.1 菲涅耳数由于菲涅耳近似的条件过于繁琐，所以采用另一种判断方式，菲涅耳数F。F=r2zλ=kr22πz其中，是孔径的尺寸，是孔径与观察屏之间的距离，是入射波的波长。假若，则衍射波是处于近场，可以使用菲涅耳衍射积分式来计算其物理性质。当F≪1时，可以使用夫琅禾费积分式来计算其物理性质。可知菲涅耳数决定了衍射的图样，所以希望只输入菲涅耳数，输出衍射图样。2.3.2 屏幕尺寸采用正方形屏幕，令其半边长为L。令圆孔半径为r,则有如下关系L=βrβ≥12.3.3 采样间隔由h(x,y)=expik2z1x2+y2可知，其角频率ω为ω=k2z1由采样定理可知，采样频率。ω1必须满足以下条件ω1≥2ω令g(x,y)=x2+y2则h(x,y)=expik2z1g(x,y)设g(x,y)的采样间隔为∆T,x,y有相同的采样间隔∆t,则∆T=2x∆t+2y∆t∆T=2πω1≤2πz1k所以∆t≤πz12kL≤πz1kx+y 所以∆t=πz1pkL 其中p≥2 p越大，采样间隔越小。 容易得到行与列采样数n为n=2L∆tn=2L2pkπz1 将菲涅耳数F代入得n=4β2pFβ=n4pF≥1菲涅耳数由k,z,r决定，屏幕尺寸则由n,p，F决定。可令k=π,r=1,则z=kr22πF。所以菲涅耳衍射的仿真函数接受3个参数，菲涅耳数F,采样数n,清晰度p。3 仿真结果3.1 圆孔的菲涅耳衍射